数学竞赛典型题目（一）1.(2004美国数学竞赛)设n a a a ,,,21 是整数列,并且他们的最大公因子是1.令S 是一个整数集,具有性质:（1）),,2,1(n i S a i =∈（2） }),,2,1{,(n j i S a a j i ∈∈-,其中j i ,可以相同（3）对于S y x ∈,，若S y x ∈+，则S y x ∈-证明：S 为全体整数的集合。

2．(2004美国数学竞赛)c b a ,,是正实数，证明：3252525)()3)(3)(3(c b a c c b b a a ++≥+-+-+-3．(2004加拿大数学竞赛)T 为1002004的所有正约数的集合，求集合T 的子集S 中的最大可能的元素个数。

其中S 中没有两个元素，一个是另一个的倍数。

4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数n 满足下列条件：（1）n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；（2）2004能整除n .5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为 21.0a a 的实数x 满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，)20041(20031≤≤++k a a a k k k ，证明：x 是有理数。

6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S ，满足：如果S n m ∈,，则S n m n m ∈+),( 7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S 为通过任何两点的直线的集合。

证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。

8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：)()!1(*2N n n n n ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-是 偶数。

9．(2004亚太地区数学竞赛)z y x ,,是正实数，证明：)(9)2)(2)(2(222zx yz xy z y x ++≥+++10．（2003越南数学竞赛）函数f 满足)0(2sin 2cos )(cot π<<+=x x x x f ，令 )11)(1()()(≤≤--=x x f x f x g ，求)(x g 在区间]1,1[-的上最值。

11．（2003越南数学竞赛）定义17612)(,91524)(2323+-+=+--=x x x x q x x x x p ，证明：（1）每个多项式都有三个不同的实根；（2）令A 为)(x p 的最大实根，B 为)(x q 的最大实根，证明：4322=+B A12．（2003越南数学竞赛）令F 为所有满足++→R R f :且x x f f x f +≥)]2([)3(对任意+∈R x 成立的函数f 的集合。

求最大实数A 使得Ax x f ≥)(对所有+∈∈R x F f ,都成立。

13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个n ，我们可以找到一个n 位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被n 5整除。

14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。

15．（2003巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD 的边,,n AD m AB ==其中n m ,是互质的奇数。

矩形被分成了mn 个单位正方形，对角线AC 交单位正方形于点C A A A A A N ==,,,,321 ，证明：1223341(1)N N N AC A A A A A A A A mn--+-+-= 16．（2002美国数学竞赛）S 为含有2002个元素的集合，并且P 是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任意)0(P n n ≤≤ ，我们可以将Ｐ的n 个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。

17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：)()()(22y yf x xf y x f -=-对于任意实数y x ,成立。

18．（2001美国数学竞赛）非负实数z y x ,,满足4222=+++xyz z y x ，证明：2+≤++≤xyz zx yz xy xyz19．（2002巴尔干数学竞赛）数列:}{n a 11213,30,20-+-===n n n a a a a a ，求所有n 使151++n n a a 是完全平方数。

20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有N N f →:使得2002220012)())((++=+n n n f n f f 或21．（2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。

22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边形。

23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数c b a ,,满足c b a abc ++≤，证明：abc c b a 3222≥++24．（200１加拿大数学竞赛）210,,A A A 位于半径为１的圆上，并且21A A 不是直径，点列}{n A 定义如下：n A 是321---∆n n n A A A 的外心，证明： 13951,,,A A A A 共线，并求所有的21,A A 使得2001100110011A A A A 是一个整数的５０次幂。

25．（2002年越南数学竞赛）n 为正整数，证明：方程21111211122=-++-+-x n x x 有唯一的解1>n x ，且∞→n 时，4→n x 26．（2001年越南）对于实数b a ,定义如下数列：.,,,210 x x x 由a x =0，n n n x b x x sin 1+=+确定（1）若.1=b 证明：对于任何a ，数列有极限;（2）若.2>b 证明：对于某些a ，数列没有极限.27．（2000年越南）定义一个正实数序列：.,,,210 x x x b x =0，.1n n x c c x +-=+求所有实数c ，使得对所有),0(c b ∈，数列存在极限.28．（2002波兰数学竞赛）k 是正整数，数列k ka a a k a a n n n n +-=+=+211,1:}{，证明：数列中的任两项互质。

29．（2001波兰数学竞赛）数列n n n n x x x b x a x x +===++1221,,:}{，一个数c 如果在数列中出现的次数超过１次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择b a ,使数列中有超过２０００个重复值，但没有无穷多个重复值。

30．（2001波兰数学竞赛）b a ,都是整数，使得b a n +2对所有非负整数n 都是完全平方数，证明：0=a31．（2001波兰数学竞赛）数列}{n a 定义如下：1a 和2a 为素数，n a 为200021++--n n a a 的最大素因子。

证明：数列}{n a 有界.32．（2001波兰数学竞赛）)(x p 是一个多项式，次数为奇次，满足1)()1(22-=-x p x p 对所有x 成立。

证明：x x p =)(33．（1978年国际数学竞赛）将集合}1978,,3,2,1{ =S 分成六个不同的集合)6,5,4,3,2,1(=i A i ，即621A A A S ⋃⋃⋃= 且Φ=⋂j i A A ，求证：在某个i A 中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的２倍。

34．（1999年国际数学竞赛）设n 是一个固定的正偶数.考虑一块n n ⨯的正方板，它被分成2n 个单位正方格.板上两个不同的正方格，如果有一条公共边，就称它们为相邻的.将板上N 个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻.确定N 的最小值.35．一个99⨯方格能否被15个22⨯方格和6个Ｌ型方格（由3个小方格组成）和3个单位方格覆盖？36．已知边长为n 的正方形及其内部的2)1(+n 个点，其中无3点共线，证明：必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积不大于21。

37．已知x 是循环节为p 的纯循环小数，y 是无限小数，其小数点后的第n 位与数x 小数点后的第n n 位的数字相同，问：y 是否是有理数？38．求所有的正整数b a ,使得1,122++++a a b b b a39．11106,3,1:}{-+-===n n n n x x x x x x ，证明：除第一项外，}{n x 中无完全平方数。

40．c bx ax x f ++=2)(是实系数多项式，且对于任何整数)(,00x f x 是完全平方数，证明：2)()(d ex x f +=，其中d e ,是整数。

41．能否找到含有1990个正整数的集合Ｓ，使（1）S 中任意两个数互质；（2）S 中任意)2(≥k k 个数的和是合数。

42．（1998年越南数学竞赛）是否存在)10(<<αα，使得有一个无穷的正数列}{n a 满足：,11n n n a n a a α+≤++),2,1( =n .43．一个整数有限序列n a a a ,,,10 称为一个二次序列，如果对于每个21},,,2,1{i a a n i i i =-∈- ；（1）证明：对于任何两个整数c b ,，都存在一个正整数n 和一个二次序列使c a b a n ==,0；（2）求满足下列条件的最小正整数n ，使1996,00==n a a44．z y x ,,是正实数，求证：49))(1)(1)(1)((222≥+++++++x z z y y x zx yz xy 45．用16个31⨯矩形和一个11⨯正方形拼成一个77⨯正方形，求证：11⨯正方形要么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。

46．环形公路上有n 个加油站，每个加油站有汽油若干桶，n 个站的总存油量够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从该站起，汽车逆时针行驶（每到一站装上所有汽油）可回到原站。

47．正实数c b a ,,满足1=abc ，求证：23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a ＋])()()([41222a b a b c a c a c b b c b c a +-++-++- 48．),,2,1(n i R x i =∈+，证明：11222221121111n nx x x x x x x x +++≤++++++ 49．数列1,21:}{2211+-==+n n n n n a a a a a a ，证明：11<∑=n k k a 50．求方程y x y x =+!!的正整数解51．求所有三次多项式)(x p 使得对任意的非负实数y x ,有)()()(y p x p y x p +≥+52．},|2{22Z y x y x S ∈+=，对于整数a ，若S a ∈3，证明：S a ∈ 53．[]53,1:}{10n n n n x x x x x +==+，已知712,136,26,54321====x x x x ，求2007x 54．（波兰）数列}{n a 由)1(012,10110≥=++++-=-n n a n a a a a n n 确定，证明： )0(0>>n a n 55．非负实数z y x ,,满足1222=++z y x ，证明：21111≤+++++≤xyz zx y yz x 56．圆周上有7个点，将他们两两连线，求这些直线在圆内部交点个数的最小值。