实用标准文档 文案大全 全等三角形

类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.

思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC 和∠ADB是对应角. 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角. 举一反三： 【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？

【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 实用标准文档

文案大全 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 【变式2】如右图，，。 求证：AE∥CF

【答案】 ∴AE∥CF

2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。 思路点拨: 由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ΔABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠B， 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF， 所以∠ACB=∠DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°. 实用标准文档 文案大全 求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC. 【答案】 (1）因为ΔACD≌ΔECD， 所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）. 因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°. 所以CD⊥AB. (2）因为ΔCEF≌ΔBEF, 所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）. 因为∠CFE+∠BFE=180°， 所以∠CFE=∠BFE=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE. 所以EF∥AC. 类型二：全等三角形的证明 3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE． 思路点拨: 欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得 解析：∵AC＝BD(已知) ∴AB-BD＝AB-AC(等式性质) 即 AD＝BC 在△ADF与△BCE中 实用标准文档 文案大全 ∴△ADF≌△BCE(SAS) 总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下： (1)找到以待证角(线段)为角(边)的两个三角形， (2)证明这两个三角形全等； (3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等． 举一反三： 【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC 【答案】∵AB∥CD ∴∠3＝∠4 在△ABD和△CDB中

∴△ABD≌△CDB(SAS) ∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等) ∴AD∥BC(错角相等两直线平行) 【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD． 求证 AF＝DE． 【答案】∵EB⊥AD(已知) ∴∠EBD＝90°(垂直定义) 实用标准文档 文案大全 同理可证∠FCA＝90° ∴∠EBD＝∠FCA ∵AB＝CD，BC＝BC ∴AC＝AB+BC ＝BC+CD ＝BD 在△ACF和△DBE中

∴△ACF≌△DBE(S．A．S) ∴AF＝DE(全等三角形对应边相等) 类型三：综合应用 4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：AB+AC>2AD. 思路点拨: 要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。 解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE 因为AD为ΔABC的中线， 所以BD=CD. 在ΔACD和ΔEBD中， 实用标准文档

文案大全 所以ΔACD≌ΔEBD(SAS). 所以BE=CA. 在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD. 总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。 举一反三： 【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E， 求证：BD=2CE. 【答案】分别延长CE、BA交于F. 因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°. 在ΔBEF和ΔBEC中，

所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA). 所以CE=FE=CF. 又因为∠BAC=90°,BE⊥CF. 所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°. 所以∠BDA=∠BFC. 在ΔABD和ΔACF中， 实用标准文档 文案大全 所以ΔABD≌ΔACF(AAS) 所以BD=CF.所以BD=2CE.

5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D， 求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF 思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等． 解析： (1)在△ABE与△CDF中

∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴AE＝CF(全等三角形对应边相等) (2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等) ∴AE∥CF(错角相等，两直线平行) (3)在△AEF与△CFE中

∴△AEF≌△CFE(SAS) 实用标准文档

文案大全 ∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等) 总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件． 举一反三： 【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证 AF＝AG．

【答案】在△AGE与△BCE中 ∴△AGE≌△BCE(SAS) ∴AG＝BC(全等三角形对应边相等) 在△AFD与△CBD中

∴△AFD≌△CBD(SAS) ∴AF＝CB(全等三角形对应边相等) ∴AF＝AG(等量代换) 实用标准文档 文案大全 6、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F． 求证：AF平分∠BAC． 思路点拨: 若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE． 解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中

∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS) ∴AD=AE(全等三角形对应边相等) 在Rt△ADF与Rt△AEF中

∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL) ∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等) ∴AF平分∠BAC(角平分线的定义) 总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。 举一反三： 【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证． 实用标准文档

文案大全 已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于 D′且 AD=A′D′ 求证：△ABC≌△A′B′C′ 证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中

∴Rt△ABD ≌ Rt△A′B′D′(HL) ∴∠B=∠B′(全等三角形对应角相等) 在△ABC与△A′B′C′中

∴△ABC≌△A′B′C′(SAS) 【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90° 求证：OC=OD 【答案】∵∠C=∠D=90° ∴△ABD、△ACB为直角三角形 在Rt△ABD和Rt△ABC中 实用标准文档

文案大全 ∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL) ∴AD=BC 在△AOD和△BOC中

∴△AOD≌△BOC(AAS) ∴OD=OC．

7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G.. 试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。

思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG 方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟） 作DM⊥CG于M ∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG ∴四边形EDMG是矩形 DE=GM