全等三角形类型一：全等三角形性质的应用ﻫ1、如图，△AＢＤ≌△AＣＥ，AＢ=AC，写出图中的对应边和对应角. ﻫﻫ思路点拨:ＡB=AC,ＡB和AC是对应边,∠A是公共角，∠A和∠A是对应角,按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析:AＢ和ＡC是对应边,AＤ和ＡE、BD和CE是对应边，∠A和∠Ａ是对应角，∠B和∠C，∠AＥC和∠ADＢ是对应角.ﻫ总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边．已知两对对应边，第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角．ﻫ举一反三:【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么?ﻫﻫ【答案】证明:由△ＡＢC≌△DBE,得ＡB=DB,BＣ=BＥ，则AB-BE=ＤＢ－BC，即ＡE=CD。
【变式2】如右图,，。
求证：ＡＥ∥ＣFﻫ【答案】∴AE∥CFﻫﻫ2、如图,已知ΔABC≌ΔＤEF,∠A=３0°,∠Ｂ=５0°,ＢF＝2，求∠DFE的度数与EC的长。
ﻫ思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFＥ＝∠ACB，EC+CF=BF＋FＣ,所以只需求∠ACＢ的度数与ＢＦ的长即可。
ﻫ解析:在ΔABC中,ﻫ∠ACＢ=1８0°-∠A-∠B,ﻫ又∠A=30°,∠B=50°，ﻫ所以∠ACＢ=１00°．ﻫ又因为ΔＡBC≌ΔDEＦ，所以∠ACB=∠DFE，ﻫ BＣ=EＦ(全等三角形对应角相等,对应边相等）。
ﻫ所以∠DFE＝100°ﻫEＣ=EF-FC＝BC-FC=FＢ＝2。
ﻫ总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
举一反三：ﻫ【变式１】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔＢＥF，∠AＣB=90°.求证:(１）ＣD⊥AB；（2）EF∥AＣ.ﻫ【答案】(1)因为ΔＡCＤ≌ΔECＤ，所以∠ＡＤC＝∠EDC(全等三角形的对应角相等）．因为∠ＡDＣ+∠ＥDＣ=1８０°，所以∠ADC=∠EDC=9０°.ﻫ所以CD⊥AB.(2)因为ΔＣEF≌ΔBEF，ﻫ所以∠ＣFE=∠BＦE（全等三角形的对应角相等).ﻫ因为∠CＦE+∠BＦE=１8０°,所以∠ＣFＥ＝∠BFE=90°．ﻫ因为∠ACB=90°，所以∠AＣB=∠BFE.ﻫ所以EＦ∥AC．类型二：全等三角形的证明3、如图,AC＝ＢD,DＦ=CＥ，∠ＥCB=∠FＤA,求证:△ADF≌△ＢCE．ﻫ思路点拨：欲证△AＤF≌△BＣＥ,由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AＣ=BD而得解析：∵AC＝BD(已知)∴AB－BD＝AB－AC(等式性质）ﻫ即ＡＤ＝BCﻫ在△ADＦ与△ＢCＥ中ﻫﻫ∴△ＡＤF≌△BCE(ＳAＳ)ﻫ总结升华：利用全等三角形证明线段(角）相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，ﻫ(2）证明这两个三角形全等；ﻫ(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.ﻫ举一反三：ﻫ【变式１】如图，已知ＡB∥DC,AB＝DC,求证：AＤ∥BCﻫ【答案】∵AB∥CD∴∠3＝∠4ﻫ在△ABD和△CDＢ中ﻫ∴△AＢD≌△CDＢ(SAS)ﻫ∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等）∴AD∥BC(内错角相等两直线平行）ﻫ【变式２】如图，已知ＥB⊥AD于B，FＣ⊥AD于C，且EB=FC,AＢ=ＣD．ﻫ求证ＡF=ＤE.【答案】∵EB⊥AD(已知)∴∠EＢＤ=90°(垂直定义)ﻫ同理可证∠ＦCＡ=90°ﻫ∴∠EBD＝∠FＣA∵ＡB＝CD,ＢC=ＢC∴AC=AB＋BCﻫ＝ＢC+ＣDﻫ＝BＤﻫ在△AＣＦ和△DBE中ﻫﻫ∴△ACF≌△ＤＢE(S.A.S）∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)ﻫ类型三:综合应用4、如图，AＤ为ΔＡBC的中线。
求证:AB+AC>２AD.思路点拨:要证ＡB+ＡＣ＞2AD,由图想到:ＡB＋ＢＤ>AD,AC+CD>AD,所以AB+AC＋BC>2AD,所以不能直接证出。
由2AD想到构造一条线段等于２AD,即倍长中线。
ﻫ解析：延长ＡD至Ｅ，使DＥ=AD，连接ＢEﻫ因为AD为ΔABＣ的中线，ﻫ所以BD=ＣD.ﻫ在ΔACD和ΔEBD中，ﻫ所以ΔＡＣD≌ΔEBD(SＡＳ)．所以BＥ=CＡ.ﻫ在ΔABＥ中,AＢ＋BＥ>AE,所以AB+AC>2AD.ﻫ总结升华：通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中。
ﻫ举一反三：【变式1】已知:如图，在RｔΔABＣ中，AB=AC,∠BAC=9０°,∠１=∠2，CＥ⊥BD的延长线于Ｅ,求证：BＤ=２CE.ﻫ【答案】分别延长CＥ、ＢA交于F．ﻫ因为BE⊥CＦ，所以∠ＢEF＝∠ＢEC=9０°．ﻫ在ΔＢEF和ΔBEＣ中，ﻫﻫ所以ΔＢEF≌ΔBEC(ASA).ﻫ所以CE=FE=CＦ.又因为∠BＡC=9０°,ＢE⊥CF．所以∠BAC=∠CAF＝９0°，∠1＋∠BDA=90°，∠１+∠BＦＣ=90°.ﻫ所以∠BDA=∠ＢFC．在ΔＡBD和ΔＡCF中,ﻫ所以ΔABD≌ΔAＣF(AAS)所以ＢD＝ＣF．所以ＢＤ=２ＣE.5、如图，AB=ＣD,BＥ=DF,∠B=∠Ｄ，求证：(1)AE=CF,(2）AE∥CＦ，(３)∠AFE=∠CEF思路点拨:（１)直接通过△ＡBE≌△CDF而得，(2）先证明∠AＥB=∠ＣＦD,(3)由(1)(2)可证明△AＥF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等,找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．解析:ﻫ (1)在△ABE与△CDF中ﻫﻫ∴△ABE≌△CDF（SAS)ﻫ∴AＥ＝CF(全等三角形对应边相等)ﻫ(2)∵∠AEB=∠CFD(全等三角形对应角相等)ﻫ∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)(3）在△AEＦ与△CFE中ﻫﻫ∴△AＥF≌△CFE（SＡＳ)∴∠AFE＝∠CＥF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中,常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件.举一反三:ﻫ【变式1】如图，在△ABC中,延长AＣ边上的中线ＢＤ到Ｆ,使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G,使EG＝CE，求证 AF=AＧ．ﻫﻫ【答案】在△AＧＥ与△ＢCE中∴△AGE≌△BCE(SAS）ﻫ∴AＧ＝BC(全等三角形对应边相等）ﻫ在△AFＤ与△CBD中ﻫ∴△AFD≌△CBD(SAS）∴AF＝CＢ(全等三角形对应边相等）∴AF=AG(等量代换)６、如图 AB=AC，BD⊥ＡC于D,CE⊥ＡB于E,ＢＤ、CＥ相交于F．ﻫ求证:AF平分∠BＡＣ．思路点拨:若能证得得AD=AE，由于∠ADＢ、∠ＡEＣ都是直角,可证得Rt△ADＦ≌Rｔ△AＥF,而要证ＡD=AＥ,就应先考虑Rｔ△ABD与Rt△AＥＣ，由题意已知ＡB=AＣ,∠BAＣ是公共角,可证得Rt△ＡBD≌Rt△ＡＣE.ﻫ解析:在Rt△ＡＢＤ与Ｒt△ACE中ﻫ∴Ｒt△ABD≌Rt△ACE（AAS)∴AD=ＡE(全等三角形对应边相等）ﻫ在Rｔ△ADＦ与Rt△ＡEF中∴Ｒt△ADF≌Rt△AEF(HＬ)ﻫ∴∠DAF＝∠EＡＦ（全等三角形对应角相等）∴ＡF平分∠BAC(角平分线的定义）总结升华：条件和结论相互转化,有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
ﻫ举一反三：【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.ﻫ【答案】根据题意，画出图形,写出已知，求证．已知:如图，在△AＢＣ与△Ａ′B′C′中．AB=A′B′,BC=B′C′，ＡD⊥BＣ于D，A′D′⊥B′C′于D′且ＡD=A′D′ﻫ求证：△ABC≌△A′Ｂ′C′证明:在Rｔ△AＢＤ与Rt△A′B′D′中∴Rt△AＢD ≌Ｒt△Ａ′B′D′(HL）∴∠B＝∠B′(全等三角形对应角相等）在△ABC与△A′B′C′中ﻫﻫ∴△ABC≌△A′B′C′(ＳAＳ)【变式2】已知,如图，AC、BD相交于O,AC=BD，∠C=∠D=90°求证：OC＝ＯDﻫ【答案】∵∠C=∠D=90°∴△ABD、△AＣB为直角三角形ﻫ在Ｒt△AＢＤ和Ｒt△AＢC中ﻫﻫ∴Rt△ＡＢD≌Rt△ABC（HL）ﻫ∴AD=ＢＣﻫ在△AOD和△ＢOC中ﻫ∴△AOD≌△BOＣ(ＡAS)∴OD=ＯC.ﻫ7、⊿AＢC中,ＡＢ=AＣ，Ｄ是底边BC上任意一点，DE⊥AB,DF⊥AC,CＧ⊥AB垂足分别是E、F、G.. ﻫ试判断：猜测线段 DE、DF、ＣG的数量有何关系？并证明你的猜想。
ﻫ思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径ﻫ解析：结论：DE+ＤF=CＧﻫ方法一:（截长法）板书此种方法（3分钟)作ＤM⊥CG于M∵DE⊥AB,ＣG⊥AB，DM⊥ＣG∴四边形EDMG是矩形ＤＥ=GMﻫ DM/／AB∴∠ＭＤC=∠Bﻫ∵ＡB=AＣ∴∠B=∠ＦＣDﻫ∴∠MDC=∠FCＤﻫ而DM⊥CG，ＤF⊥AＣ∴∠DMＣ=∠CFD在⊿MDC和⊿FCD中∴⊿MDC≌⊿FCＤ(AAS)ﻫMC＝ＤＦ∴DＥ＋DF＝GM＋MC=CGﻫ总结升华：方法二(补短法）作ＣＭ⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略)ﻫﻫ总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法ﻫ方法三（面积法)使用等积转化ﻫ引申:如果将条件“Ｄ是底边BＣ上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、ＤＦ和CG会有怎样的关系?画出图形,写出你的猜想并加以证明ﻫ举一反三:【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
ﻫ【答案】证明的过程使用三种证明方法,包括:(1)截长法（2)补短法(3)面积法轴对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识典例1.下列几何图形中，错误!线段错误!未定义书签。
角错误!直角三角形错误!未定义书签。
半圆，其中一定是轴对称图形的有( )图（2）A．1个 B.2个Ｃ.3个 D.4个2．正n边形有＿____＿＿___＿条对称轴，圆有__＿_＿＿＿_＿____条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例：１、如图，Rt△ABC,∠C=90°，∠B＝30°,ＢC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP、DＰ，则AP+ＤP的最小值是2、已知等边ABC,E在ＢC的延长线上,CF平分∠ＤCE,P为射线C上一点,Ｑ为CＦ上一点,连接ＡＰ、ＰQ.若AP=PQ,求证∠ＡPQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__＿____＿＿_＿___＿___⑵线段的垂直平分线上的点到＿＿＿____＿__＿＿＿＿_＿＿＿___＿相等归类回忆角平分线的性质⑴角是轴对称图形，其对称轴是_＿__＿＿＿_______＿⑵角平分线上的点到_____＿＿____＿_＿___＿_＿____相等典例１、如图,△AＢC中，∠A＝９0°，BD为∠ABＣ平分线，ＤＥ⊥ＢC，E是ＢＣ的中点,求∠C的度数。