10
例 4.6
差分方程为
y(k 1) 1.1y(k) P
齐次解为 yh (k) C(1.1)k
特解为 y p (k) 10 P
全解为
y(k) C(1.1)k 10P
代入初始条件，可得 C 10P 20000
y(k) (10P 20000)(1.1)k 10P
令y(10)=0，有 0 (10P 20000 )(1.1)10 10P
将yp(k)代入原差分方程，得：
P(2)k 3P(2)k1 2P(2)k2 2k
P(2)k 3 P(2)k 2 P(2)k 2k
2
4
y
p
(k
)
1 3
(2)k
解得：P 1
3
8
例 4.5
(3)用初始值求常数：
全响应为： y(k )
yh (k)
yp (k)
C1 (1) k
C2 (2)k
1 3
这个模型也可以用来计算还贷余额。其中，f(k)代表每 年开始时还贷的金额，y(k)代表扣除当期还贷金额后的 还贷余额，若向银行贷款20000元，每年利息是10%， 即或r=0.1。按等额还贷法计算10年归还贷款本息时每年 所需的还贷额。
解 设每年所需的还贷额为P，则f(k)=P。
初始条件是贷款y(0)=-20000 。注意，由于还贷10次后将 全部还清贷款余额，必须找出使y(10)=0的每年所需还贷 额P。
解 Matlab程序如下：
k=-2:10;n=length(k)-2; y=[1,2,zeros(1,n)];f=k.*u(k); for i=3:n+2 y(i)=y(i-1)-0.24*y(i-2)+f(i)-2*f(i-1); end clf;stem(k,y);xlabel('k');ylabel('y(k)'); disp('k y');disp([num2str([k',y'])])
(2)k
将初始条件代入上式，得：
微yy((差分12)) 分方CC1 1方程C4C22程的211216的经120经典典解解得解法：法类与似CC12 ！ 321
故，全响应为： y(t) 2 (1)k (2)k 1 (2)k
3
3
k 0
自由响应
强迫响应
9
例 4.6
描述银行存款模型的差分方程为
y(k 1) (1 r) y(k) f (k 1)
齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有
频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一
般形式（无重根）： n yh (k) Ciik
i 特征根
i 1
特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定 系数法确定。
用初始值确定系数Ci。一般情况下，n 阶方程有n个常数， 可用n个初始值确定。
i1
i0
上式中的第一项为
N
ai y(k i) aN
i 1
y(k N)
a N 1
a1
y(k
N
1
y(k 1)
第二项求和与上式类似
4
计算机例题C4.3
用MATLAB迭代计算差分方程
y(k) y(k 1) 0.24y(k 2) f (k) 2 f (k 1)
其中输入信号 f (k) k (k)，初始条件 y(1) 2, y(2) 1。
P 2000(1.1)10 3254.91＝零输入响应＋零状态响应
零输入响应的求法与齐次解一样。
n
yzi (k) Ciik i 1
i---特征根，Ci由初始值确定。
零状态响应的求法与解非齐次方程一样。
yzs (k) 齐次解＋特解
n
＝ C jik yp (k) j 1
4.4 差分方程的解法
迭代法
可以利用手算或计算机递推法算，方法简便，概念 清楚，但对于复杂问题直接得到一个解析式(或称闭 式)解答较为困难。
经典法
和连续系统的时域分析法相似，先求齐次解和特解， 再根据边界条件求待定系数，时域法求解过程比较 烦，但各响应分量的物理概念比较清楚。
卷积和法
利用卷积和法求系统的零状态响应，再由齐次解求 零输入响应，零状态响应与零输入响应之和即为系 统的完全响应。
所以，y(1)是差分方程的系数与 y，(0) ，y(1)
y(N 1)
和 f (1), f (0), ,的f (线M性组1) 合。
以此类推，通过反复迭代，就可以求出任意时刻的响 应值。这种迭代方法最适合用计算机计算，下面我们 用Matlab来实现这种计算。
3
迭代法
N
M
y(k) ai y(k i) bi f (k i)
即 y(0) 是差分方程的系数与 y(1) ，y(2) ， y(N )
和 f (0), f (1),, f (M ) 的线性组合。
2
迭代法
令上式中 k 1，有
y(1) a1 y(0) a2 y(1) aN y(N 1)
b0 f (1) b1 f (0) bM f (M 1)
5
Matlab程序运行结果
>> k y
-2
1
-1
2
0 1.76
1 2.28
2 1.8576
3 0.3104
4 -2.13542
5 -5.20992
6 -8.69742
7 -12.447
8 -16.3597
9 -20.3724
10 -24.4461
6
差分方程的经典解法
全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)
7
例 4.5
描述某线性非移变系统的差分方程为
y(k) 3y(k 1) 2y(k 2) 2k (k)
试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。
解：(1)求齐次解，特征根为：1 1, 2 2
yh (k) C1(1)k C2 (2)k
(2)求特解：设特解为：yp (k) P(2)k
12
零输入响应的一般形式
返回
若无重根： yzi (k) C11k C22k Cnnk
Z变换法
1
迭代法
N
M
令 ai y(k i) bl f (k i) 式的 a0 1，
i0
i0
则常系数线性差分方程为
N
M
y(k) ai y(k i) bi f (k i)
i 1
i0
令上式中 k 0，有
y(0) a1 y(1) a2 y(2) aN y(N ) b0 f (0) b1 f (1) bM f (M )