2 j j
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0

f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds

2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt

双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)

f
(t )e t

1
2

F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)

p
f (t) F(s)
d f (t) dt

sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d

s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
F() f (t)e jtdt
（1）系统求解中的激励 e(t) 、响应r(t)的非零取值往往是从 t 0时刻开始的。


dt dt

0
3
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。
考虑在 f (t)上乘以收敛因子et 。
行拉氏变换。
8
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
（四）常用函数的拉氏变换
(t)
u(t) etu(t) tu (t )
sin(0t)u(t) cos(0t)u(t) et sin(0t)u(t) et cos(0t)u(t)
1
1
s
1
s
1
s2
0 s2 02
§4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性
§4.9 二阶谐振系统的 s 平面分析
§4.10 全统函数与最小相移函数的零、极点分布
§4.11 线性系统的稳定性
§4.12 双边拉氏变换
§4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
1
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.1 引言
拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：
Hale Waihona Puke （1） 对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号
0 ，收敛域为整个 s平面
（2） 对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号
0 0 ，收敛域为 s右半平面
7
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
（3）随时间 t 成正比增长或随 t n成正比增长的信号
0 0 ，收敛域为 s右半平面
f1(t) f (t)et
在 0 t 上，et只有在
0时才起收敛作用，且
越大，收敛效果越明显。
若 f1(t)绝对可积，则存在傅里叶变换
F1()
0
f1(t)e jt dt

f (t)ete jt dt
0
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
s
s2 02 0
(s )2 02 s
(s )2 02
整个 s 平面
0
0
0
0
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第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
L[ (t)] (t)estdt 1,u(t) 1
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第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
（三）单边拉氏变换的收敛域
j
要使 f (t)的拉氏变换存在，必须有
lim f (t)et 0
t
收
0 0
敛 域

若存在 0 ，使得
0
时，lim t
f
(t )e t

0
成立。
则 s平面上 0的区域称为 F (s) 的收敛域。
lim tet 0, lim t net 0, 必须有 0
t
t
（4）按指数阶规律et 增长的信号
0 ，收敛域为
lim etet lim e( )t 0
t
t
（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 et2 ，不能进
（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应；
（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 s域的
“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程；
（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；
（4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立
f (t) 1
2

F1
()e(

j
)t
d
1
2 j
j j
F1
(
)e(

j
)t
d
(

j)
f1(t) f (t)et
F (s) f (t)estdt 0

0
f1(t)e jtdt
F1()
1 j F (s)est ds
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
§4.1 引言
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
§4.3 拉氏变换的基本性质
§4.4 拉普拉斯逆变换
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型
§4.6 系统函数（网络函数）H( s )
§4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性