i, j =1,2, …
pij 0,i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk)pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
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例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，
取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：
0 第一次取到白球 X 1 第一次取到黑球
的概率意义：
F(x, y)是随机点 (X,Y) O
落在以 (x, y) 为顶点的左
X
下方的无穷矩形的概率.
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图1
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2)设 x1x2,y1y2
则 P ( x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2 )
F(x2,y2) F(x2,y1)F(x1,y2）F(x1,y1)
Y
(x1, y2)
(x2, y2)
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(x1, y1)
O
(x2, y1)
X
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3) 联合分布函数F(x,y)的基本性质：
（1） F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,
x 1 ,x 2 R , x 1 x 2 ,有 F (x 1,y)F (x 2,y) 固定x, y 1,y2 R ,y 1y2,有 F (x ,y1)F (x ,y2)
为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。
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离散型随机向量的联合分布律
Y X
y1
y 2
ym
x1
p11 p12
p1m
x2
p21 p22
p2m
xn
p n 1
pn2
p nm
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二维随机变量（X,Y） 离散型 联合分布
X和Y 的联合概率函数
P (X xi,Yyj)pij,
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例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，
令 Xi 10
Yi Yi
(i1,2)
求(X1, X2)的联合概率分布。
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例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求
(X,Y)的概率函数 .
P(X=3, Y=0)=1/8 P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3
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XY 0 1 2 3
0 0 0 0 1/8 1 0 3/8 0 0 2 03/8 0 0
3 0 0 0 1/8
XY 1 3
0 01/ 8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 01/ 8
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随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布
函数的概念.
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定义1 设(X，Y)为二维随机向量, 对于任意x，
y，二元函数F (x ,y ) P (X x ,Y y )
称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合
分布函数. [注] 1)联合分布函数
Y
(x, y)
F (x ,y ) P (X x ,Y y )
问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数?
解: 由于 P ( 1 X 2 , 1 Y 2 )
F ( 2 , 2 ) F ( 1 , 2 ) F ( 2 , 1 ) F ( 1 , 1 )
1 1 1 0 1 0
所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分
第三章 随机向量
二维随机向量的分布 随机向量的数字特征 二维正态分布 大数定律与中心极限定理 n维随机向量
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从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球 试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
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离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:
1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对;
2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
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§3.1 二维随机变量的分布 一、二维随机向量及其联合分布
设X,Y是定义在同一个样本空间 上的随机
变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维 随机向量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性
质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此 必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维
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三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3 对于二维随即向量(X,Y)的分布函数
F(x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y)
使得对于x,yR,有 F(x,y) x
y
f(u,v)dud
称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称
f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密
度函数，记作(X8
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二、离散型随机向量的联合分布律
定义2 如果二维随机向量的每一个分量X和Y 都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散 型随机向量。若 (X，Y)的所有可能值为
(xi , yj ) , i1,2,;j1,2, 称 P ( X x i,Y y j) p i,i j 1 ,2 , ; j 1 ,2 ,
[注] ① f (x, y)的基本性质：
(1)f(x,y)0
(2)
f(x,y)dx d1y
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解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0, Y=0)=0 P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=0)=0 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
P(X=1, Y=i)=0, i=2,3; P(X=2, Y=0)=0 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0
（ 2 ） 0F (x,y)1;
（3） 固定x,有F(x, )0;固定y,有 F(, y)0;
F( , )0，F( , )1， 但 F(, y)1, F(x,) 1.
（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续.
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例1 已知二元函数
1 xy0 F(x,y)0 xy0