万有引力定律的发现万有引力定律发现是人类认识史上最重大的事件之一。

在这一发现过程中，牛顿对引力平方反比定律的发现，即所谓“开普勒命题”的证明，起到了关键性作用，它标志着牛顿成熟地掌握了动力学原理是发现万有引力定律的必要前提。

牛顿在惠更斯1673年发表离心力定律之前，结合开普勒周期定律，得到了圆轨道上的平方反比关系；胡克与牛顿在1679年底至1680年初之间的通信，诱发了牛顿首次理解开普勒面积定律的物理意义，并应用几何图形法来解决开普勒命题。

也就是说，牛顿是在1680年才发现我们现在所理解意义上的引力平方反比定律。

一、圆轨道上平方反比关系的发现牛顿对动力学的研究是从研究圆周运动问题开始的；牛顿借助于他有关碰撞问题的研究成果，卓有成效地从动力学角度来量化处理圆周运动中力与“运动的改变”之间的关系，并利用等价性将直线运动的分析结论推广到圆周运动和椭圆运动，为其有关力学的进一步研究打下了坚实的基础。

同时期的惠更斯也注意到圆周运动问题，并从运动学角度对它进行了较为深入的研究；就离心力定律的发现而言，惠更斯走在牛顿的前面。

牛顿是在 1665或 1666年写的“仿羊皮手稿”（the Velluo Manuscript ）中提出“（l/2）R 公式”：“一个在直线上从静止开始运动的物体，其所受的力等于作用在沿半径为R 的圆周、以速度V 运动的同等物体的力；则在圆周上运动的物体通过距离R 的时间内，直线上运动的物体将行进（1/2）R 距离。

”根据牛顿的手稿，我们可以得到上述公式的推论过程：首先，牛顿给出直线运动、圆周运动状态的初始条件，即同等的时间、物体和力；其次，牛顿依据已认识到的两种运动（量）之间的等价性，推论出：直线上从静止开始运动的物体，在时间R/V 内获得的运动量为mV 、末速度为 V ；最后，牛顿/得到直线上由静止开始运动的物体，在时间R/V 内经过的距离为：［（1/2）V ］·（R/V ）=（1/2）R 。

“（1/2）R 公式”的提出，表明牛顿承袭伽利略等人所坚持的、力与距离之间存在对应关系的传统，并试图用精确的数值关系来表征这种对应关系。

其另一点是，牛顿合理地将伽利略重力作用下的t 2定律推广到任意定常力作用的情形。

这两点，是牛顿发现圆轨道上平方反比关系的必要条件。

牛顿写于1669年前的《论圆周运动》（OnCircular Motion ）手稿，使上述的两点得以具体实现。

他在此引入又一种全新的处理圆周运动的方法——“偏离量方法”（the DerivativeMethod ），即：“物体在由A 到D 作圆周运动的过程中，退离中心的意向力大小是这样的：即在物体通过AD （假定它很小）的时间内，该力将使物体偏离圆周一段距离 DB （见图1）……现在，如果这个意向力象重力一样地在一条直线上作用，它将使物体通过的距离与时间的平方成比例”。

这样，牛顿在意向力和距离之间建立了对应关系，并通过推广伽利略重力作用下的t 2定律，确定了距离与时间平方之间的比例关系。

这一比例关系在《原理》中“上升”为第一卷第一节的“引理X ”，它构成了牛顿应用“线性动力学比”方法证明开普勒命题的数学前提。

可以认为，牛顿至此才找到处理圆周运动问题的数值计算方法。

牛顿在该手稿的第一部分，应用相似三角形的比例关系和近似的方法，得出下述重要的结论：意向力在周期T 内使物体偏离的距离DB ＝2π2R。

在这之后；牛顿给出了物体受“由于地球的周日运动产生的、在天球赤道上退离地球中心的意向力”的作用、在单位初始时刻行进距离的示例。

事实上，牛顿在这里是由“（1/2）R公式”结合推广的伽利略t2定律，即S∝t2这样的比例关系，得到偏离量DB的数值表达式，然后应用几何方法综合地证明了他的结论。

根据“（1/2）R公式”，在时间t（即R/V）内，物体在直线上行进（1/2）R；设在周期T（即2πR/V）内，物体在直线上行进DB；依据推广的伽利略t2定律，有：（1/2）R∝t2＝R2/V2，DB∝T2＝4π2R2/V2，两式相比后简化得：DB＝2π2R。

这正是牛顿在手稿中给出的重要结论。

牛顿在《论圆周运动》手稿的第二部分，再次应用S∝t2于其结论：DB＝2π2R中，得到下述重要的“推论”：“推论：对应于不同的圆周运动，它们退离中心的意向力与直径除以周期平方的值成比例，或与直径乘以任意给定时间内周转数平方的值成比例。

”这一推论用公式表征为：意向力∝2π2R/T2∝2π2R·n2；其中n为给定时间内的周转数。

牛顿在手稿的结束段，将上述推论（意向力∝R·n2）与其在早年笔记簿中所摘录的开普勒周期定律（R3∝T2∝1/n2）结合起来，成功地“推出了”圆轨道上意向力与距离间的平方反比关系：“最后，由于主要行星至太阳距离的立方与它们在给定时间内周转数的平方成反比；因此，它们退离太阳的意向力与它们至太阳距离的平方成反比。

”于是，牛顿在将行星椭圆轨道近似地视作圆轨道的前提下，“跨越”了离心力定律，应用偏离量方法，由“（1/2）R公式”和推广的伽利略t2定律，结合开普勒周期定律，在1669年前发现了圆轨道上的平方反比关系。

这是牛顿早期动力学研究所获得的最重要的结论。

二、胡克对牛顿的影响作为皇家学会秘书的胡克，可能是有感于当时欧洲大陆学者在动力学研究上的新成就，主动在1679年11月24日致信牛顿，提请他将已搁置多年的动力学研究继续下去。

牛顿在同年的11月28日当即回信，并通知胡克自己只考虑地球周日运动而得到的一个“想象的结论”。

1680年1月6日，胡克再次致信牛顿，全盘托出他本人有关天体运动的设想：“我的猜测是，吸引力总是与到中心距离的平方成反比的，因而速度与引力的平方根成正比，其结果如开普勒推测的那样；与距离成反比。

……在天体运动中，太阳或中心天体是吸引力的原因，虽然不能设想它们是数学点，却可想象为物理点。

这样，就可按前述原理中的比例，计算出从同一中心开始、到很远距离上的吸引力。

”于是，不管牛顿承认与否，胡克对牛顿的“刺激”至少表现在如下四点：首先，胡克在1679年12月9日的信中所提出的、物体的下落运动是由直向运动和指向中心的吸引运动所合成的，因而将下落运动转换成曲线，尤其是圆周和椭圆运动问题来处理的思想，无疑地对牛顿产生了影响。

其次，胡克关于吸引力平方反比关系的“猜测”、其对开普勒行星运动经验定律的错误“概括”以及综合得到的错误“结论”，致使牛顿认识到有待进一步研究的必要。

第三，胡克指出，太阳或中心天体的吸引力是天体运动的原因，还进一步地视它们为物理点，牛顿一度接受了胡克的这一观点。

第四，胡克的书信激发了牛顿应用几何图形法来“证明”椭圆轨道上引力平方反比关系，牛顿在1686年7月14日致哈雷的信中承认了这一点：“这是真的，他（指胡克）的信使我偶然发现应该用图形法，在椭圆上的验算是靠图形法的研究来进行的。

”令人惊讶的是，牛顿对胡克的这封信却采取了沉默的态度。

胡克在1680年1月17日再次“催促”牛顿，也是未有回音。

牛顿拖延到将近一年后的12月3日，用几句不关痛痒的客套话来搪塞胡克。

那么，在1679年12月13日至1680年12月3日这段近一年的时间内，牛顿在胡克书信的刺激下，尤其是其将落体运动转换为曲线运动、以及运动合成的圆周运动理论中新力学思想的影响下，重新认识到惯性原理的物理意义，掌握了开普勒面积定律与有心力作用之间的逻辑相关性，并写作了《论椭圆轨道》（On Motion in Ellipse）原始手稿，牛顿在这一手稿中应用几何图形法解决了开普勒命题，即综合证明了椭圆轨道上引力平方反比定律。

三、椭圆轨道上引力平方反比定律的证明牛顿是在《论椭圆轨道》中证明椭圆轨道上引力平方反比定律的。

牛顿在手稿的一开始就提出如下三条“假设”（Hypoth ）：“假设1。

只要物体不为阻力或其他外力所阻碍，它将在直线上作匀速直线运动。

假设 2。

运动的改变永远正比于使运动发生改变的力。

”在“假设3”中，牛顿给出了同时作用的、运动合成的平行四边形法则。

紧接着，牛顿应用假设1、3，显然也发挥了胡克的运动合成思想，并引入量“无限地”变小的极限概念，来分析物体在有心力作用和惯性作用下两种运动合成的瞬时效应，以证明开普勒面积定律等价于一有心力作用：“命题1：如果一物体在真空中运动并被一不动的中心所吸引，它将在一平面中运动，且在相等的时间内，物体与中心的连线，扫过的面积是相等的。

”这样，牛顿摒弃了以往学者对开普勒面积定律的各种修补、注释，最早地认识到开普勒面积定律及其与笛卡儿惯性定律之间逻辑联系的物理意义，为开普勒命题的解决铺设了道路。

牛顿根据命题1的结论，并利用吸引力与“偏离量”的对应关系，来论证椭圆轨道上运动的物体、在特殊位置（椭圆的顶点）所受的吸引力与物体至焦点距离的平方反比关系（命题2）。

牛顿为了将上述结论推广到复杂的、物体在椭圆轨道上任意点的受力情形，在命题2之后插入了说明椭圆曲线性质的三个“系定理”。

牛顿在给出解决开普勒命题的数学手段之后，应用比例方法和“系定理 3”（YXI/AB ×PQ ＝YZ 2／KL 2），并结合吸引力与“偏离量”的对应关系，证得：F P ／F p ＝XY/xy ＝YZ 2/yz 2＝pF 2/PF 2（见图2），即：“命题3：如果物体受到一指向椭圆焦点的吸引力作用，并且该力的大小足以维持物体在该椭圆上运动，则吸引力与物体到焦点距离的平方成反比。

”这样，牛顿应用图形法解决了开普勒命题，综合证明了椭圆轨道上引力平方反比定律。

这一问题的解决，不仅标志着牛顿成熟掌握了动力学基本原理，而且它与牛顿有关质量概念的明确、向心力概念的引入，以及运动第三定律的提出，一起构成了牛顿在1685至1686年发现万有引力定律的基本前提。

平方反比关系的确立，标志着万有引力定律已基本成形。

四、万有引力定律的验证牛顿万有引力定律发现的意义是极其巨大的，他标志着现代天文学的开始。

早在1682年，哈雷在访问巴黎天文台时，恰好遇上了一颗大彗星，他与台长卡西尼（Jacques Cassini ，1677～1756）一道观测了这颗彗星，并计算了彗星接近太阳时的轨道，从此，他对牛顿提出的彗星也服从万有引力定律的观点使哈雷感悟到：如果彗星是在一个以太阳为焦点的椭圆轨道上运行，那么，有朝一日它还会转回到太阳附近，地球上的人们可以再次看到它．基于这个想法，哈雷应用万有引力定律开始了彗星的研究．他首先确定了1337—1698年间出现的24颗彗星的轨道要素，以这些彗星的位置记录为出发点，查阅了前人的研究文献，发现开普勒于1607年观察到的一颗彗星与自己1682年观测的彗星描述相符，两次彗星出现的时间间隔是75年．如果75年是这颗彗星的周期，只要依此前推就可以找到它先前的记载．哈雷继续对照查证，又找到一颗出现于1531年的彗星与前两颗有极其相似的轨道，但是时间间隔却是76年．为什么这三颗彗星的记载和轨道如此相似但间隔时间却有差异呢？根据牛顿的万有引力理论，哈雷认为这是因为彗星围绕太阳运行时受到其他天体（如土星、木星）的引力影响，其运动轨道偏离了原来的轨道——即“摄动”的结果．由于“摄动”影响，彗星的运动会偏离原椭圆轨道，从而导致了运动周期的变化，因此它的每一次出现不可能遵循完全相等的时间间隔．1705年，哈雷出版了《彗星天文学论说》一书，书中论述了他应用《原理》中的力学理论计算出1337—1698年间观测到的24颗彗星的轨道．哈雷指出，出现于1531、1607和1682年的三颗彗星应是同一颗彗星的三次回归，并大胆预言，这颗彗星一定会再次回来，回归的日期在1758年底到1759年初，时间间隔是76年．牛顿在《原理》第三版序言中首肯了哈雷的研究，他说：“哈雷博士比以前更精确地计算了该彗星的椭圆轨道，沿此轨道，彗星穿越天穹九宫，其精确性与行星在天文学给出的椭圆上运行并无二致”．1758年岁末，哈雷去世后的第16年，一颗拖着美丽长尾的彗星跃上昏黄的夜空，哈雷的预言实现了！人们慷慨地称它为哈雷彗星！作为人类所确认的第一颗周期彗星，哈雷彗星的回归，说服了最后一批牛顿力学的怀疑者．不仅1758年，在以后的漫长岁月中，1835年、1910年、1986年，哈雷彗星都如期地回归过地球，科学的预言一次又一次地证实了牛顿理论的正确！牛顿把他的引力定律应用于地球的运动时，第一次解释了从普鲁塔奇时代以来就已经知道的岁差现象。