3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量3.2.2 空间线面关系的判定(一)学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的________)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP→＝________作用定位置点A和向量a可以确定直线的________ 定点可以具体表示出l上的任意________(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝x a＋y b②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l⊥α，直线l的________________叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的________向量a，叫做直线l 的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的______，n叫做平面α的法向量(4)空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔________⇔a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔________面面平行α∥β⇔μ∥v⇔________知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量.引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量.反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z ). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组.(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形.平面PAB ⊥平面ABCD ，△PAB 是边长为1的正三角形，ABCD 是菱形.∠ABC ＝60°，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF 的一个法向量.类型二 利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由.1.若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________.2.已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________.(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1).3.已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点.P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________.4.若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m 为________.5.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________.1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R ).答案精析问题导学 知识点一思考 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示.我们把向量OP →称为点P 的位置向量.(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b .②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理 (1)方向向量 tAB →位置 一点 (2)②方向向量 (3)非零 方向向量n (4)a ∥b a ·μ＝0 μ＝k v (k ∈R ) 知识点二思考 (1)由直线方向向量的定义知若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ∈R ).(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行. (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行. 题型探究例1 解 因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直.如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E (0，32，12)，B (1,0,0)，C (1，3，0)， 于是AE →＝(0，32，12)，AC →＝(1，3，0).设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3). 引申探究解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)， 即为直线PC 的一个方向向量. 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1). 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3). 跟踪训练1 解 连结PF ，CF ，AC .因为PA ＝PB ，F 为AB 的中点，所以PF ⊥AB ，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PF ⊂平面PAB . 所以PF ⊥平面ABCD ，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， 所以△ABC 是等边三角形，所以CF ⊥AB .以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.由题意得F (0,0,0)，P (0,0，32)，D (－1，32，0)，C (0，32，0)，E (0，34，34). 所以FE →＝(0，34，34)，FD →＝(－1，32，0). 设平面DEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z ). 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·FE →＝0，m ·FD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧34y ＋34z ＝0，－x ＋32y ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－y ，x ＝32y ，令y ＝2，则x ＝3，z ＝－2.所以平面DEF 的一个法向量为m ＝(3，2，－2).例 2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1). 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2). 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量.由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1—→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .跟踪训练2 解 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设存在满足题意的点E (0，y ，z )， 则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)，∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面PAB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面PAB . 当堂训练1.(2,4,6)2.④3.x －3y －z ＋4＝04.－85.(1,1,1)(答案不惟一)。