23
1 2( 2 n 1 1)
n
解析 :(1) 因为 1
2
( 2n 1)
1 (2n 1)( 2n 1)
11
1 ,所以
2 2n 1 2n 1
n
1
i 1 (2i 1) 2
11 1(
23
1
11 1
)1 (
)
2n 1
2 3 2n 1
(2) 1 1 1 4 16 36
11 1
2
4n
(1 4
2
2
11
1
2) n
(1 1 4
3(2n 1) 2 n
n
2n 1 2 3
n
12 2n 1 3
(14)
k2
1
1
k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) !
(15)
1
n
n(n 1)
n 1(n 2)
(15)
i2 1
j2 1
i2 j2
ij
(i j)( i 2 1 j 2 1)
ij
1
i2 1
j2 1
例 2.(1) 求证 :1
1 ,所以 n 1
2n 1
k 1k2
1 12
3
1 5
1
1
25
1
2n 1 2n 1
33
奇巧积累 :(1) 1
n2
4 4n2
4
1
1
4n2
1
2 2n
1
2n
1
(2) 1
2
1
1
C1n
C2
1n
( n 1) n( n 1)
n(n 1) n( n 1)
(3) Tr 1
C
r n
1 nr
n!
1
r !(n r )! n r
a1 k | a1 ln b | a1 (b a1) b
49
1
1
1
n2
1 23 34
1
1
n
1
n( n 1)
n1 n1
当 n 3时, n
6n
,当 n 1 时 ,
6n
11 1
n 1 (n 1)(2 n 1)
( n 1)( 2n 1)
49
1, 2
n
当 n 2时, 6n
11 1
( n 1)( 2n 1)
49
1,
n2
所以综上有
6n
11 1
(n 1)(2n 1)
49
一、裂项放缩
n
例 1.(1) 求
2 的值 ;
k 1 4k2 1
n
(2)求证 :
1
5.
2
k1k
3
解析 :(1) 因为 2
2
1
1 ,所以 n 2
4n2 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
k 1 4k2 1
11 2n 1
2n 2n 1
(2)因为 1
n2
1 n2 1
4
4 4n2 1
21 2n 1
高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
1 32
1 52
1 ( 2n 1) 2
7 6
1 (n 2) 2( 2n 1)
(2) 求证 : 1 1 1 4 16 36
1 11 4n2 2 4n
(3)求证 : 1 1 3 1 3 5 2 2 4 246
1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2n
2n 1 1
(4) 求证： 2( n 1 1) 1 1 1
故 若存在正整数 m k , 使 am b , 则 a k 1 ak b ,
若 am b(m k) ,则由 0 a1 am b 1知 am ln am a1 ln am a1 ln b 0 , ak 1 ak ak ln ak a1 k am ln am ,
m1
因为 k
am ln am
m1
k(a1 lnb) ,于是 ak 1
1
1
11
(r 2)
r! r (r 1) r 1 r
(4) (1 1) n 1 1 1
1
n
21 3 2
1
5
n(n 1) 2
(5) 1
11
2n (2 n 1) 2n 1 2 n
(6) 1
n2
n2 n
(7) 2( n 1
n)
1 2( n
n 1) (8)
2
1
1
1
1
n
2 n 1 2n 3 2n (2 n 1) 2 n 1 (2n 3) 2 n
1 n
2
1 n
2
2n (2n 1)(2n 2)
2n 1 ( 2n 1)(2 n 1 1)
1
1
2n 1
1
2n
(n 1
2)
(12) 1
n3
1 n n2
1 n( n 1)( n 1)
1 n(n 1)
1 n( n 1)
1 n1 n1
1 n1
1 n1
n1 n1 2n
1 n1
1 n1
(13) 2n 1 2 2 n (3 1) 2n 3
(9) 1
k(n 1 k)
1
1 1,
1
11
1
n 1 k k n 1 n( n 1 k ) k 1 n n 1 k
(10) n
1
1
(n 1) ! n ! (n 1) !
(11) 2n
(2 n 1) 2
2n (2n 1)( 2 n 1)
(11)
1 n
2 ( 2n 1 2n 1)
22 2n 1 2n 1
215 Leabharlann 2 31125
1
2n 1 2 n 1
33
例 4.(2008 年全国一卷 )设函数 f ( x) x x ln x .数列 an 满足 0 a1 .1 an 1 f (an) . 设 b ( a1，1) ，整数 k ≥ a1 b .证明 : ak 1 b .
a1 ln b
解析 : 由数学归纳法可以证明 an 是递增数列 ,
而由均值不等式知道这是显然成立的，
2
1 n
2
1 n
2
所以 1 1 1 23
1
2( 2n 1 1)
n
例 3.求证 : 6n
11 1
(n 1)( 2n 1)
49
15 n2 3
解析 :
一方面 : 因为 1
n2
1 n2 1
4
4
1
1 ,所以 n 1
4n2
1
2 2n
1
2n
1
k2
k1
11 12
35
另一方面 : 1 1 1
) n
(3) 先运用分式放缩法证明出 1 3 5 (2n 1)
2 4 6 2n
1 ,再结合 1
进行裂项 ,最后就可以得到答案
n2 n
2n 1
n2
(4) 首先 1 2( n 1 n )
2
,所以容易经过裂项得到
1 2 ( n 1 1) 1
1
1
n
n1 n
23
n
再证
1
n
2( 2n 1 2n 1)
22 2n 1 2n 1