y
H B A D K
ys
o rp a
x
The region ABH represents forces that would be 上述简单分析是以裂纹尖端弹性解为基础的，故 present in an elastic material but cannot be carried 并非严格正确的。屈服发生后，应力必需重分布， in the elastic-plastic material because the stress 以满足平衡条件。 cannot exceed yield. The plastic zone must increase in size in order to carry these forces.
K Ic 如图所示。
1 b 。 2
无损检测发现裂纹长度在4mm以上，设计工作应力为 d
讨论：a 工作应力d=750MNm-2 时，检测手段能否保证防止发生脆断？ b 企图通过提高强度以减轻零件重量，若b提高到1900MNm-2 是否合适？ c 如果b提高到1900MNm-2 ，则零件的允许工作应力是多少？
计 算 主 应 力

屈 服 准 则
y xy 裂纹尖 y x dy 端屈服 r dx 区域的 (5-1) 2a x 形状与 尺寸
这里仅简单讨论沿裂纹线上屈服区域的大小。 在裂纹线上(=0)，注意到 K p a ，有； x y
K1 a ； xy 0 2r 2p r

x= a cos[1 - sin sin3 ] 2 2 2r 2 a cos [1 sin sin3 ] (5-1) y 2 2 2 2r a sin cos cos3 xy r 2 2 2 2
y xy y x dy r dx 2a x
当r0时， ，必然要发生屈服。 因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。
19
2.4 LEFM在结构静强度分析方面的应用
2.4.2 应用举例 确定剩余强度
例1
某飞机机翼大梁下缘条凸
缘的承载情况如图所示，经长期 工作后，孔边出现lmm深的穿透
裂纹，材料为30CrMnSiNi2A特
种钢，问该构件的承载能力还有 多少？ 已知： 1667 .19MPa b
s 1274 .91MPa
18
解：a 选用钢材，K Ic 为66MNm-3/2 ，计算得
K1c 66MNm1/ 2 2
K Ic
2c 12.1 10 3 m 12.1mm
p
d pc
d b
1 2
b 通过热处理提高材料强度 b = 1900MNm-2 ，则 K Ic=34.5MNm-3/2 ， 计算得裂纹临界长度2c=2.1mm。小于检测范围，不能保证不发生脆性 断裂。 若改用钢材4，则可计算得2c约为4.35mm，满足要求。
[ sin sin3 ] a cos = 1裂尖附近 线弹 x 一点 2 2 2r 2 性断 任一点处 的应 a 3 ] [ sin cos sin 1 y 2 的 2 2 y 裂力 r x、 2 力状 学 态3 a cos xy ， cos sin xy r 2 2 2 2
B 2. 5( K1c ys ) 2
抗断设计：
基本方程：K f ( a , L ) p a K1c W
1) 已知、a，算K，选择材料，保证不发生断裂；
2) 已知a、材料的K1c，确定允许使用的工作应力；
3) 已知、K1c，确定允许存在的最大裂纹尺寸a。
一般地说，为了避免断裂破坏，须要注意：
线弹性断裂力学预测裂纹尖端应力无穷大。然而 在实际材料中，由于裂尖半径必定为有限值，故 裂尖应力也是有限的。非弹性的材料变形，如金 属的塑性，将使裂尖应力进一步松弛。
7.1 裂纹尖端的小范围屈服
1. 裂尖屈服区
无限大板中裂纹尖端附近任一点 (r,)处的正应力 x、y和剪应力xy的线弹性解为：
注意，a0越小，K1C越大，临界断裂应力c越大。 因此，提高K1C ，控制a0，利于防止低应力断裂。
2.3 材料的韧性与断裂设计
2.3.2断裂韧性在结构设计 和失效分析中的应用 安全判据 K Y a K Ic , 是结构断裂设计的依据。
结构设计应用例 （1）一厚板零件，使用0.45C-Ni-Cr-Mo钢制造。其
K1 a x y ； xy 0 2r 2p r 对于平面问题，还有： yz=zx=0； z=0 z=(x+y) 则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
平面应力 0 K1 1 2 ； 3 2p r 2 K1/ 2p r 平面应变
解：1）不考虑缺陷，按传统强度设计考虑。 选用二种材料时的安全系数分别为： 材料1： n 1=ys1/=1800/1000=1.8 优
材料2： n 2=ys2/=1400/1000=1.4 合格
2）考虑缺陷，按断裂设计考虑。 由于a很小，对于单边穿透裂纹应有 K1 1.12 p a K1c 或 K1c 1.12 p a
控制材料缺陷和加工、制造过程中的损伤。 当缺陷存在时，应进行抗断设计计算。 K1c较高的材料，断裂前ac较大，便于检查发现裂纹。 低温时，材料K1c降低，意发生低温脆性断裂。
带缺陷断裂强度计算
脆性材料：
例1：某构件有一长a=1mm的单边穿透裂纹，受拉 应力 =1000MPa的作用。试选择材料。 材料1：ys1=1800Mpa，K1C1=50MPa m； 材料2：ys2=1400Mpa，K1C2=75MPa m；
c 在b = 1900MNm-2时，对钢材1，在临界裂纹2c=4mm时，其工作应
力为d=685MNm-2 对钢材4，在临界裂纹2c=4mm时，其工作应力为d=990MNm-2
18
2.3 材料的韧性与断裂设计
压力容器的防爆设计
保证先泄漏，不爆裂 临界裂纹ac必须大于容器壁厚
由
可得
则
ac t 则先泄漏 ac t 则先爆破
断裂判据：
a K f ( , L ) p a K1c
W
或
KK1C
这是进行抗断设计的基本控制方程。
f是裂纹尺寸a和构件几何(如W)的函数，查手册； K1C是断裂韧性(材料抗断指标)，由试验确定。 K由线弹性分析得到，适用条件是裂尖塑性区 尺寸r远小于裂纹尺寸a；即： a 2. 5( K1 ys ) 2 K1C是平面应变断裂韧性，故厚度B应满足：
1 2 ( 2 3 ) 2
1/ 2
IV [ ]
( 3 1 ) 2 ]
M 1 3

拉伸强度极限 压缩强度极限
M [ ]
4
带缺陷断裂强度计算（脆性）
• 线弹性断裂力学 线弹性断裂力学是断裂力学的一个重要 分支，它用弹性力学的线性理论对裂纹体 进行力学分析，并采用由此求得的某些特 征参量（如应力强度因子、能量释放率） 作为判断裂纹扩展的准则。
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 )2 ( 3 1) 22 ys
将各主应力代入Mises屈服条件，得到： (平面应力) K1 / 2p rp ys (1 2) K1 / 2 p rp ys 故塑性屈服区尺寸rp为： rp 1 ( K1 )2 2p ys K rp 1 ( 1 )2(12 )2 2p ys (平面应变)
I 1
I 1 ( 2 3 )
I [ ]
压、扭联合作用下的脆性材料。
II [ ]
III [ ]
同第四强度理论。 塑性材料（低碳钢、非淬硬中 碳钢、退火球铁、铜、铝等） 的单向或二向应力状态。 任何材料在二向或三向压缩应 力状态。
拉压强度极限不等的脆性或低 塑性材料在二向应力状态（二 向压缩除外）的精确计算。
KC 55.82MPa m
第七章 弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM ) 用线弹性材料物理模型，按照弹性力学方法，研究 含裂纹弹性体内的应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱的应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 的临界条件, 处理工程问题。 线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于 无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不 可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的 材料必然要进入塑性，发生屈服。
最大剪应力无疑是材 第四强度理论 料屈服的主要原因， （统计平均剪应 但其他斜面上的切应 力理论） 力也有影响，所以应 用统计平均切应力。
莫尔理论（修正 在最大切应力的基础 后的第三强度理 上，应加正应力的影 论） 响。
III 1 3
IV ( 1 2 ) 2
Linear elastic fracture mechanics predicts infinite stresses at the crack tip. In real materials, however, stress at the crack tip are finite because the crack tip radius must be finite. Inelastic material deformation, such as plasticity in metal , leads to further relaxation of the crack tip stress.
5.3 控制断裂的基本因素
断 裂 三 要 素
裂纹尺寸和形状(先决条件)
应力大小(必要条件)
作用
抗力 材料的断裂韧性K1C (材料抗力) 含裂纹材料抵抗断裂能力的度量。
作用(、a)越大，抗力(K1C )越低，越可能断裂。 K是低应力脆性断裂（线弹性断裂）发生与否 的控制参量，断裂判据可写为： K f ( a , L ) p a K1c W