4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：10()1G s s =+。

当系统作用有下列输入信号时：()sin(30)r t t =+︒，试求系统的稳态输出。

解：系统的闭环传递函数为：10()()11()()1()111C s G s s s R s G s Φ===++这是一个一阶系统。

系统增益为：1011K =，时间常数为：111T =其幅频特性为：()A ω=其相频特性为：()arctan T ϕωω=-当输入为()sin(30)r t t =+︒，即信号幅值为：1A =，信号频率为：1ω=，初始相角为：030ϕ=︒。

代入幅频特性和相频特性，有：1(1)A ====11(1)arctan arctan5.1911T ωϕω==-=-=-︒ 所以，系统的稳态输出为：[]()(1)sin 30(1)24.81)c t A A t t ϕ=⋅⋅+︒+=+︒4-2 已知系统的单位阶跃响应为：49()1 1.80.8(0)ttc t e e t --=-+≥。

试求系统的幅频特性和相频特性。

解：对输出表达式两边拉氏变换：1 1.80.8361()49(4)(9)(1)(1)49C s s s s s s s s s s =-+==++++++ 由于()()()C s s R s =Φ，且有1()R s s=（单位阶跃）。

所以系统的闭环传递函数为： 1()(1)(1)49s s s Φ=++可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：1211,49T T ==系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：12()()()A A Aωωω===1212()()()arctan arctan arctan arctan49T Tωωϕωϕωϕωωω=+=--=--4-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。

（1）1()10.01G ss=+（2）1()(10.1)G ss s=+（3）)1008()1(1000)(2+++=sssssG（4）250(0.61)()(41)sG ss s+=+解：手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确。

所谓“概略”，即计算与判断奈氏曲线的起点、终点、曲线与坐标轴的交点、相角变化范围等，这就可以绘制出奈氏曲线的大致形状。

对一些不太复杂的系统，已经可以从曲线中读出系统的部分基本性能指标了。

除做到上述要求外，若再多取若干点（如6-8点），并将各点光滑连线。

这就一定程度上弥补了要求A的精度不足的弱点。

但因为要进行函数计算，例如求出实虚频率特性表格，工作量要大些。

在本题解答中，作如下处理：小题（1）：简单的一阶惯性系统，教材中已经研究得比较详细了。

解题中只是简单套用。

小题（2）：示范绘制奈氏图的完整过程。

小题（3）、小题（4）：示范概略绘制奈氏图方法。

4-3（1）1()10.01G ss=+这是一个一阶惯性（环节）系统，例4-3中已详细示范过（当T=0.5时），奈氏曲线是一个半圆。

而表4-2给出了任意时间常数T下的实虚频率特性数据。

可以套用至本题。

①系统参数：0型，一阶，时间常数0.01T=②起终点奈氏曲线的起点：（1,0），正实轴奈氏曲线的终点：（0,0），原点奈氏曲线的相角变化范围：（0,－90°），第IV象限③求频率特性。

据式（4-29）已知：实频特性：221()1PTωω=+虚频特性：22()1TQTωωω=-+⑤绘图：4-3（2）1()(10.1)G s s s =+示范绘制奈氏图的完整过程。

这是一个由一个积分环节和一个一阶惯性环节组成的二阶系统。

①系统参数：1型系统，n=2, m=0 ②起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°； 奈氏曲线的相角变化范围：（-90°，-180°），第III 象限 ③求频率特性：21(0.1)()(10.1)(10.01)j G j j j ωωωωωω-+==++实频特性：20.1()10.01P ωω-=+虚频特性：21()(10.01)Q ωωω-=+当0ω=时，实频曲线有渐近线为-0.1。

⑤绘图：4-3（3）)1008()1(1000)(2+++=s s s s s G示范概略绘制奈氏图方法。

①系统参数：1型系统，n=3, m=1 ②起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处； 奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；奈氏曲线的相角变化范围：（-90°，-180°）； ③绘图：4-3（4）250(0.61)()(41)s G s s s +=+示范概略绘制奈氏图方法。

①系统参数：2型系统，n=3, m=1 ②起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，2型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；奈氏曲线的相角变化范围：（-180°，-180°）；由于惯性环节的时间常数大于一阶微分环节的时间常数，二者相频叠加总是小于零，故图形在第2象限。

③绘图：如要详绘，则先求频率特性：()2224250(0.61)50(0.61)(41)12050170()(41)(41)16(41)j j j j G j j j j j ωωωωωωωωωωωωω++---+===-+-++ 即有实频特性：24212050()16P ωωωω--=+ 虚频特性：42170()16Q ωωωω=+4-4 试画出下列传递函数的波德图。

（1）)18)(12(2)()(++=s s s H s G（2）2200()()(1)(101)G s H s s s s =++（3）2250()()(1)(101)G s H s s s s s =+++（4）210(0.2)()()(0.1)s G s H s s s +=+（5）228(0.1)()()(1)(425)s G s H s s s s s s +=++++ 解：绘制波德图要按照教材P134-135中的10步，既规范也不易出错。

4-4（1）)18)(12(2)()(++=s s s H s G（1） 开环传递函数已如式(4-41)标准化；（2） 计算开环增益K ，计算)(lg 20dB K ；得系统型别ν，确定低频段斜率；开环增益K ＝2, 20lg 20lg 26()K dB == 0型系统，低频段斜率为0；（3） 求各转折频率，并从小到大按顺序标为Λ,,,321ωωω，同时还要在转折频率旁注明对应的斜率；①110.1258ω==，惯性环节，斜率-20； ②210.52ω==，惯性环节，斜率-20；（4） 绘制波德图坐标。

横坐标从0.1到10二个十倍频程。

见图； （5） 绘制低频段幅频渐近线，为水平线；（6） 在10.125ω=，斜率变为-20；在20.5ω=，斜率变为-40；标注斜率见图；（7） 幅频渐近线的修正。

在10.125ω=处修正-3dB ，在0.06,0.25ω=处修正-1dB ；在0.5ω=处修正-3dB ，在0.5,1ω=处修正-1dB ；注意在0.5ω=处有两个-1dB 修正量，共修正-２dB ；（8） 绘制两个惯性环节的相频曲线； （9） 环节相频曲线叠加，形成系统相频曲线；（10） 检查幅频渐近线、转折频率、相频起终点的正确性。

4-4（2）2200()()(1)(101)G s H s s s s =++ （1） 开环传递函数已如式(4-41)标准化；（2） 计算开环增益K ，计算)(lg 20dB K ；得系统型别ν，确定低频段斜率；开环增益K ＝200, 20lg 20lg 20046()K dB == 2型系统，低频段斜率为-40； （3） 求各转折频率：①110.110ω==，惯性环节，斜率-20； ②21ω=，惯性环节，斜率-20；（4） 以下文字略，见绘图；4-4（3）2250()()(1)(101)G s H s s s s s =+++ （1） 开环传递函数标准化：2250()()(20.511)(101)G s H s s s s s =+⨯⨯++（2） 计算开环增益K ，计算)(lg 20dB K ；得系统型别ν，确定低频段斜率；开环增益K ＝50, 20lg 20lg5034()K dB == 2型系统，低频段斜率为-40； （3） 求各转折频率：①110.110ω==，惯性环节，斜率-20； ②21ω=，二阶振荡环节，阻尼比0.5ζ=，斜率-40；（4） 其它：二阶振荡环节在转折频率处要按实际阻尼比按图4-17修正。

见绘图；4-4（4）210(0.2)()()(0.1)s G s H s s s +=+ （1） 开环传递函数标准化：2220(1)10(0.2)0.2()()(0.1)(1)0.1ss G s H s s s s s ++==++ （2） 计算开环增益K ，计算)(lg 20dB K ；得系统型别ν，确定低频段斜率；开环增益K ＝20, 20lg 20lg 2026()K dB ==2型系统，低频段斜率为-40； （3） 求各转折频率：①10.1ω=，惯性环节，斜率-20； ②20.2ω=，一阶微分环节，斜率+20； （4） 其它见绘图；4-4（5）228(0.1)()()(1)(425)s G s H s s s s s s +=++++ （1） 开环传递函数标准化：22220.0325(1)0.1()()(20.511)(20.455)sG s H s s s s s s ⨯+=+⨯⨯++⨯⨯+ （2） 计算开环增益K ，计算)(lg 20dB K ；得系统型别ν，确定低频段斜率；开环增益K ＝0.032, 20lg 20lg0.03230()K dB ==- 1型系统，低频段斜率为-20； （3） 求各转折频率：①10.1ω=，一阶微分环节，斜率+20；②21ω=，二阶振荡环节，阻尼比0.5ζ=，斜率-40； ③35ω=，二阶振荡环节，阻尼比0.4ζ=，斜率-40； （4） 其它见绘图；4-5 根据下列给定的最小相位系统对数幅频特性曲线图写出相应的传递函数。

解：4-5(a)（1）求结构从图中看出，低频段斜率为0，是0型系统，由渐近线的斜率变化： 第1个转折频率处斜率变化20/dB dec -，是一阶惯性环节； 第2个转折频率处斜率变化也是20/dB dec -，也是一阶惯性环节； 因此传递函数结构为12()(1)(1)KG s T s T s =++（2）求参数从图中看出，低频段与零分贝线水平重合，因此1K =对第1个一阶惯性环节，转折频率11ω=，则：1111T ω==对第2个一阶惯性环节，转折频率24ω=，则：22110.254T ω=== 综合得：()(1)(0.251)KG s s s =++解：4-5(b)（1）求结构从图中看出，低频段斜率为20/dB dec -，是1型系统，由渐近线的斜率变化： 第1个转折频率处斜率变化20/dB dec -，是一阶惯性环节； 第2个转折频率处斜率变化也是20/dB dec -，也是一阶惯性环节； 因此传递函数结构为12()(1)(1)KG s s T s T s =++（2）求参数从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：0100ω=，因为是1型系统，由式(4-67)100K =对第1个一阶惯性环节，转折频率10.01ω=，则：11111000.01T ω=== 对第2个一阶惯性环节，转折频率2100ω=，则：22110.01100T ω=== 综合得：12100()(1)(1)(1001)(0.011)K G s s T s T s s s s ==++++解：4-5(c)（1）求结构从图中看出，低频段斜率为0，是0型系统，由渐近线的斜率变化： 第1个转折频率处斜率变化20/dB dec -，是一阶惯性环节； 第2个转折频率处斜率变化也是20/dB dec -，也是一阶惯性环节； 第3个转折频率处斜率变化也是20/dB dec -，也是一阶惯性环节； 因此传递函数结构为123()(1)(1)(1)KG s T s T s T s =+++（2）求参数从图中看出，低频段为水平线，幅值为48k L dB =。