根据前面求出的C的面积直接填出下表：
C A B B A C
A的面积 B的面积 C的面积
左图 右图
4
9 9
13
25
16
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
由上面的几个例子，我们猜想： 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b， 斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜 边的平方. c
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， BC 42 32 7; 当BC为斜边时，如图， BC 42 32 5.
2 2 a c b , 公式变形：
b c2 - a 2 , c a 2 b2
a、b、c为正数
小贴士
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52， 解得 x 5，a 5 .
(2) A 30, b 15 , c 2a . 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得 x 5 3 . a 5 3 ，c 10 3 .
A
C
B
S正方形A S正方形B S正方形C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系？
A C
B
一直角边2
+
另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1 2 c 4 ab b a a 2 b2 . 2
2
赵爽弦图 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被 选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的 直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系 后证明吧.
c
证明： S梯形
1 ( a b)( a b), 2
S梯形
a
c b
1 1 1 2 ab ab c , 2 2 2
∴a2 + b2 = c2.
归纳总结
勾股定理
a
c
如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
b 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理， 或百牛定理.
证明：
a
b
b c
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
a c b S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4×
1 ab+c2 2
a
c
b
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
a
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2. a b
二 利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
B
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b. 解：(1)据勾股定理得
C
A
c a2 b2 52 52 50 5 2;
(2)据勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
讲授新课
一 勾股定理的认识及验证
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去 他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖 铺成的地面（如图）：
问题1 试问正方形A、B、 C面积之间有什么样的数 量关系？
导入新课
情景引入 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世 界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人 类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他 们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化 的民族和国家都对勾股定理有所了解.
学练优八年级数学下（RJ） 教学课件
第十七章
17.1
勾股定理
勾股定理
第1课时 勾股定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易 求出面积的三角形和四边形）：
C A B B A
C
1 左图： SC 4 2 3 1 1 13 2 1 右图： SC 4 2 4 3 1 1 25
你还有其他 办法求C的 面积吗？
这两幅图中A,B的 面积都好求，该 怎样求C的面积呢？
C A B B A
C
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边 都在网格线上的正方形）：
C A B B A
C
左图： 右图：
1 SC 5 5 4 2 3 13 2 1 SC 7 7 4 4 3 25 2
a
b 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以 前的数学家们们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所 拼的图形证明命题吧.
b
a
c b
a
c
b
a
c a
证明： ∵S大正方形＝c2， b b-a S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形，