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导数压轴题题型归纳
1.高考命题回顾
例1已知函数f(x)= e x- ln(x+ m).( 2013全国新课标n卷)
(1)设x = 0是f(x)的极值点，求 m，并讨论f(x)的单调性;
⑵当m<2时，证明f(x)>0.
例 2 已知函数 f(x)= x2+ ax+ b,g(x)= e x(cx + d)，若曲线 y= f(x)和曲线 y= g(x)都过点 P(0,2), 且在点P处有相同的切线 y= 4x+2 (2013全国新课标I卷)
(I)求 a, b, c, d 的值
(n)若 x>-2 时, f(x) <kg(x)，求k的取值范围。
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2.在解题中常用的有关结论探
(1)曲线y4(x)在X%处的切线的斜率等于f (x0)，且切线方程为y=f'(x o)(x-x o)+f (x o)。
⑵若可导函数y£(x)在X =x0处取得极值，则f'(X o)=0。
反之，不成立。
⑶ 对于可导函数f(X)，不等式f -(x) ¥牡y勺解集决定函数f(x)的递增(减)区间。
⑷函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：•爵 f (x)逮(切恒成立(fix)不恒为0).
(5)函数f (X)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程f'(x)m在区间I上
有实根且为非二重根。
(若 f (x)为二次函数且I=R，则有△ > 0 )。
(6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f-(x)翅或f'(X)<在I上恒成立
(7)若 , f (X)次恒成立，则 f (x)min 次；若0$ , f (X) <0 恒成立，则f(X)max <0
(8)若玄目，使得f(X0):，则f(X)max ；若3 X0 弓，使得 f (X D)却，则f(x)min 哎.
(9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为D,若灯X亡D f(x)》g(x)恒成立,
则有〔f(X)- g(x)]min >0
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例7 (构造函数，最值定位)
设函数f (x ) = (X -1庖-kx 2
(其中k € R ).
(10)
若对 W X 1 忘 1
1、X 2「2， f(X 1)>g(X 2)恒成立，则 f (X)min >g(X)max .
若对 V X 1 忘 11
,3 X 2 忘 l 2，使得 f (X 1)>g(X 2),则 f (X)min Ag(x)min • 若对 V X
1 忘 11
,3 X 2 I 2，使得 f(X 1)<g(X 2)，则 f (X)max<g(X)max .
(11)已知f(x)在区间|1上的值域为A,, g(x)在区间12上值域为B ,
若对 y x 1
11 X 2 12，使得 f (xj = g( X 2)成立，则 A 匸 B 。
(1
2)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f '(X)=0有两个不等实根片＞ x
2，且极大值大于0,极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式：
X
X +1
② <
ln( x+1 < x(x>—1)
④
e —X > 1 - X
⑥ In X 1
1 / c\
L 厂—
(
x>0)
3. 题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
In x<x-1 (x>0)
dg (x>1) X +1 2
(I )当k=1时,求函数f(x )的单调区间；
(口 )当k 需，1
］时'求函数f(
x
)在°，k
】上的最大值M .
1 3 1 2
已知函数 f(x)= — x +-ax +x + b(a > °), f'(X)为函数 f (x)
3 2
的导函数.
X 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是 y =3x-3，求 a,b 的值;
例9 (切线)设函数f(x) =x2 -a
an 时，求函数
g(x
^
xf (x)
在区间［°，1］
上的最小值;
(2)当a >°时，曲线y =f(x)在点Pg f (xJXX 1
》為处的切线为1 , 1
与X 轴交于
点A(X 2，°)求证：刘沁2>需
2
2 X L
例10 (极值比较)已知函数f
(x) =(x +a
x-2
a
+3a
)e (x ^ R )
,其中a 忘R
⑴当
a
=°时，求曲线y =f(x)在点(1,
f(1))
处的切线的斜率;
a 工
2
⑵当 3
时，求函数
f(
x)的单调区间与极值.
例8(分类讨论，区间划分) (1)设函数f(x)的图象与 ax
⑵若函数g(x) =e
•f '(x)，求函数g(x)的单调区间.
(1)当
例11 (零点存在性定理应用)
已知函数f(x) =ln x, g(x) =e x
.
x + 1
⑴若函数0(x) = f (x) ----- ，求函数o (x)的单调区间;
x- 1
⑵设直线l 为函数f (x)的图象上一点A(x 0, f (x g ))处的切线，证明：在区间(1,+8)上存在 唯一的X o ,使得直线
已知函数 f(x)=l nx-ax+匕一1(a 亡 R ).
x
f(x)的单调性;
⑵设g(x) =x 2
—2bx+4.当a=—时，若对任意x ^ (0,2)，存在x ^ 1,^，使
4
f(x i ) > g(x 2)，求实数b 取值范围.
⑴若F(x )=^
(a
€R
)，求F(x)的极大值;
2
⑵若G
(x) = [ f(X)] -kx
在定义域内单调递减，求满足此条件的实数
k 的取值范
I 与曲线y=g(x)相切.
例12 (最值问题，两边分求)
例13 (二阶导转换) 已知函数f(X)= In X
f(x) =x-1—alnx(a亡R).
例14
(综合技巧)设函数x
⑴讨论函数f(x)的单调性;
⑵若f(X)有两个极值点X l，X2，记过点A(X l，f(xj)，B(X2, f(X2))的直线斜率为k ,问：是否存在a，使得k =2-a?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。