B1(0，－b)，B2(0 ，b) B1(－b，0)，B2(b，0) c (0,1) a 离心率 e＝ ，且e∈____ a2－b2 a，b，c的关系 c2＝________
[小题体验] x2 y2 1．椭圆 C： ＋ ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 25 16
的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△F1AB 的周长为( A．12 C．20 B．16 D．24 )
椭
圆
淮北一中数学组
1．椭圆的定义
等于常数
焦点
2a＞|F1F2| 2a＝|F1F2|
2ห้องสมุดไป่ตู้＜|F1F2|
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2 y2 a2＋b2＝1(a＞b＞0)
y2 x2 a2＋b2＝1(a＞b＞0)
图形
标准方程
x2 y2 a2＋b2＝1(a＞b＞0)
y2 x2 a2＋b2＝1(a＞b＞0)
解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1，
2 x ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1． 5
当焦点在 y 轴上时， b＝2，c＝1，
2 2 y x ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1． 5 4
答案：C
2． (易错题)一个椭圆的中心在原点， 焦点 F1， F2 在 x 轴上， P(2， 3) 是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准 方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1 C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1 8 6 16 6 4 2 8 4
范围
[－b，b] x∈ [－a，a] ， x∈______________ ， [－b，b] [－a，a] y∈_______________ y∈_______________
_
坐标轴
__ 原点
性质
对称性 顶点
对称轴：______；对称中心：____ A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
x2 y2 2．若方程 ＋ ＝1 表示椭圆，则 k 的取值范围是 5－k k－3 ________．
5－k>0， 解析：由已知得k－3>0， 5－k≠k－3. 解得 3<k<5 且 k≠4． 答案：(3,4)∪(4,5)
考点一
椭圆的标准方程
[题组练透]
1．若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为 x2 2 A． ＋y ＝1 5 x2 2 x2 y2 C． ＋y ＝1 或 ＋ ＝1 5 4 5 x2 y2 B． ＋ ＝ 1 4 5 D．以上答案都不对 ( )
解析：△F1AB 的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB| ＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a． x2 y2 在椭圆 ＋ ＝1 中，a2＝25，a＝5， 25 16 ∴△F1AB 的周长为 4a＝20，故选 C．答案：C
x2 y2 2 2．设 e 是椭圆 ＋ k ＝1 的离心率，且 e＝ ，则实数 k 的取值是 4 3 ________．
x2 y2 ＝6，故椭圆方程为 ＋ ＝1． 8 6
得 a2＝8，b2
答案：A
3．椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若椭圆 C 的离心 1 率等于 ，且它的一个顶点恰好是抛物线 x2＝8 3y 的焦 2 点，则椭圆 C 的标准方程为______________．
x2 y2 解析：设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)．由点 P(2， 3)在椭圆上 a b 4 3 知 2＋ 2＝1． 又|PF1|， |F1F2|， |PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|， a b
4 ＋ 3 ＝1， a2 b2 2 2 2 c 1 2 2 2 即 2a＝2×2c，a＝ ，又 c ＝a －b ，联立c ＝a －b ， 2 c 1 a＝2
[小题纠偏] 2 2 x y 1．已知椭圆 C： ＋ ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C 4 3
上的点 A 满足 AF2⊥F1F2，若点 P 是椭圆 C 上的动点，则 ―→ ―→ F1 P · F2A 的最大值为 ( ) 3 3 3 9 15 A． B． C． D． 2 2 4 4 解析：由椭圆方程知 c＝ 4－3＝1，所以 F1(－1,0)，F2(1,0)． 因为椭圆 C 上点 A 满足 AF2⊥F1F2，则可设 A(1，y0)，代入椭圆 ―→ 9 3 2 方程可得 y0＝ ，所以 y0＝± ．设 P(x1，y1)，则 F1P ＝(x1＋1，y1)， 4 2 ―→ ―→ ―→ F2A ＝(0，y0)，所以 F1P · F2A ＝y1y0． 因为点 P 是椭圆 C 上的动点，所以－ 3≤y1≤ 3， ―→ ―→ 3 3 故 F1 P · F2A 的最大值为 ． 答案：B 2
c＝1， c 1 所以a＝2， 2 2 2 a ＝b ＋c ，
a＝2c＝2， 解得 2 b ＝3，
x2 y2 x2 y2 故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1．答案： ＋ ＝1 4 3 4 3
1．椭圆的定义中易忽视 2a＞|F1F2|这一条件，当 2a＝|F1F2|其轨 迹为线段 F1F2，当 2a＜|F1F2|不存在轨迹． 2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程 x2 y2 为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b x2 y2 3．注意椭圆的范围，在设椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)上点的坐标为 a b P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点 P 有关的最值问 题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
解析：当 k＞4 时，有 e＝ 0＜k＜4 时，有 e＝ 20 36 的值为 或 ． 9 5 20 36 答案： 或 9 5
4 2 36 1－k＝ ，解得 k＝ ；当 3 5
k 2 20 1－ ＝ ，解得 k＝ ．故实数 k 4 3 9
1 3．(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为 ， 2 则椭圆的标准方程为________． x2 y2 解析：设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b 1 因为椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率 e＝ ， 2