高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质5 点与椭圆的位置关系6 关于焦点三角形与焦点弦22(,)B x y ，AB7 椭圆的光学性质8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法2)y 代入椭圆方程，并将两式相减，可得二 典例剖析1 求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连-方程为____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，若0OP OQ ⋅=，且102PQ =，则椭圆方程为_____________________ 10PQ =【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =（1）求椭圆的离心率。
（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。
）由（1）得：(3,Q c【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF = （1）若k ≤（2）若k =AB 的中点到右准线的距离为10033，求椭圆的方程c【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=，求直线l 的方程（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点 （4）求OPQ 的最大面积2k-时，取“【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以（2）若直线:l y kx mAB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标所以()(2243316434343m m mkkk-+++++2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= （1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。
①求椭圆的方程；②求直线AB的斜率k的取值范围。
①②【注1】在方法二中，也可由QA QB =得到②【注2】求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0∆>；（4）椭圆内部的点()00,x y 满足2200221x y a b+<；【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆交于,A B 两点，OA OB +与向量()3,1a =-共线。
（1）求椭圆的离心率e（2）设M 为椭圆上任一点，若(),OM OA OB R λμλμ=+∈，求证：22λμ+为定值【例8】已知A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一动点，弦,AB AC 分别过焦点12,F F ，当AC x ⊥轴时，恰有123AF AF =. （1）椭圆的离心率（2）设111AF F B λ=，222AF F C λ=，判断12λλ+是否为定值？11AF y F B-6有一个斜率不存在，不妨设【例9】设00(,)P x y 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的定点，过P 点作两条直线,PA PB与椭圆分别交于,A B 两点（异于P 点）且满足直线PA 与PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值2b （②3. 最值问题【例10】已知12,F F 是椭圆2214x y +=的左，右焦点以及两定点()1,,0,222M N ⎛⎫⎪⎝⎭（1）设P 为椭圆上一个动点①求1PF PM +的最大值与最小值；②求12PF PF ⋅的最大值与最小值。
（2）过N 点作直线l 与椭圆交于,A B 两点，若AOB ∠为锐角（O 为原点），求直线l 的斜率的取值范围-，即点P 为椭圆短轴端点时，，由向量的数量积定义及余弦定理可得：12PF PF =⋅⋅22212121212PF PF F F PF PF PF +-⋅⋅⋅ 2⎢⎣⎦3y -（以下同解法一））显然直线0x =不满足题设条件，【例11】已知椭圆22:143x yC+=，AB是垂直于x轴的弦，直线4x=交x轴于点N，F为椭圆C的右焦点，直线AF与BN交于点M （1）证明：点M在椭圆C上（2）求AMN面积的最大值2y =)1，函数h【例12】已知椭圆的中心在原点，左，右焦点分别为())120,0F F ，右顶点为()2,0A ，设11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，过原点O 的直线与椭圆交于,B C 两点，求MBC的最大值【例13】（08 山东）已知曲线()1:10x yC ab a b+=>>所围成的封闭图形的面积为曲线1C 的内切圆半径为3，记2C 是以1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆 （1）求椭圆2C 的标准方程（2）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是AB 线段的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点。
①若MO OA λ=（O 为坐标原点）当A 点在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若点M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB 的最小面积2y45+2OM 281(1=+OA OM ，【例14】已知椭圆22:143x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆交于,A B 两点（1）求2AF B 的面积的最大值（2）当2AF B 的面积最大值时，求12tan F AF ∠的值2y =(2211243k +=+【例15】(2009山东卷) 设椭圆E: ()222210x y a b a b+=>>过M （2） ，,1)两点，O 为坐标原点， （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
（3）设直线l 与椭圆222:(2C x y r r +=<<相切于P 点，与椭圆E 只有一个公共点Q ，当r 取何值时，PQ 取得最大值？并求此最大值1=于是22221212121228()()(+)12m ky y kx m kx m k x x km x x m k -=++=++=+要使OA OB ⊥,需使 12120x x y y +=，所以 223880m k --=， ①因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为2222(1)1m r m r k k=⇒=++②由 ① ② 可得：263r =，所求的圆为2283x y +=，而当切线的斜率不存在时，切线为263x =±，与椭圆22184x y+=的两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±，满足OA OB ⊥。
综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥.②因为, 1224+12km x x k-=+，21222812m x x k -=+， 所以 22212121211(+)4AB k x x k x x x x =+-=+-22222428141212km m k k k ⎛⎫--⎛⎫=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()222228(84)112k m kk -+=++ 2223245132134413441k k k k k k k ++⎛⎫=⋅=+ ⎪++++⎝⎭ⅰ）当0k ≠时，32111344AB k k ⎛⎫=+ ⎪++ ⎪⎝⎭。
因为221448k k ++≥ 所以221101844k k <≤++,， 即 3232111213344k k ⎛⎫<+≤ ⎪++ ⎪⎝⎭, 所以46||233AB <≤，当且仅当22k =±时取”=”.ⅱ）当0k =时,46||3AB =.= 0OP OQ ⊥，且圆的方程为222222a bx y a b+=+；反之，若OP OQ ⊥，则O 点到直线PQ 的距离为定值. 当k PQ ba =±时，|PQ|取得最大值;当2k 0PQ =或PQ x ⊥轴时，|PQ|.4 直线与椭圆的位置关系【例16】已知12,F F 是椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，直线l 与椭圆相切。
（1）分别过12,F F 作切线l 的垂线，垂足分别为M N ，，求12FM F N ⋅的值 （3）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于两点,A B ，求AB 的最小值。
【例17】已知椭圆22:194x yC+=，过点()03P，作直线l与椭圆顺次交于,A B两点（A在,P B之间）。
（1）求PAPB的取值范围；（2）是否存在这样的直线l，使得以弦AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求l的方程，若不存在，说明理由。
x4 )0,1，故求得：2222x y ⎨⎪+=，即 y【例18】设,A B 是椭圆()2230x y λλ+=>上两点，点()3N 1，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线交椭圆于,C D 两点 （1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程（2）是否存在这样的实数λ，使得,,,A B C D 四点在同一圆上？并说明理由【例19】（2010江苏）已知椭圆22:195x y C +=的左，右焦点为12,F F ，左，右顶点为,A B ，过点()T t m ，的直线,TA TB 分别交椭圆于点()()()112212,0,0M x y N x y y y ><，，（1）设动点P ，满足2224PF PB -=，求点P 的轨迹方程（2）当1x =2，213x =时，求T 点的坐标（3）设9t =，求证：直线MN 过x 轴上的定点三 解题小结两点，点。