一、选择题
1．如图2－1－5为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()
图2－1－5
A．白色B．黑色
C．白色可能性大D．黑色可能性大
【解析】由图知，珠子三白二黑周而复始，相继排列，因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色，故选A.
【答案】 A
2．(2013·佛山高二检测)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为() A．76B．80
C．86 D．92
【解析】由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.
【答案】 B
3．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于()
A.
2
(n＋1)2
B.
2
n(n＋1)
C.
2
2n －1
D.
22n －1
【解析】 由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝1
3，又a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110…猜想a n ＝2n (n ＋1)
.
【答案】 B
4．(2013·杭州高二检测)已知集合A ＝{3m ＋2n |m >n 且m ，n ∈N }，若将集合A 中的数按从小到大排成数列{a n }，则有a 1＝31＋2×0＝3，a 2＝32＋2×0＝9，a 3＝32＋2×1＝11，a 4＝33＝27，…，依次类推，将数列依次排成如图2－1－5所示的三角形数阵，则第六行第三个数为( )
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
… 图2－1－5
A ．247
B ．735
C ．733
D ．731
【解析】 由条件可以看出，第s 行第t 个数是3s ＋2(t －1)，所以第六行第三个数应为36＋2×(3－1)＝729＋4＝733.
【答案】 C
5．(2013·南昌高二检测)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52011的末四位数字为( )
A ．3 125
B ．5 625
C ．0 625
D ．8 125
【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125,510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125,512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52011＝54×501＋7末四位数字为8 125.
【答案】 D 二、填空题
6．(2013·大同高二检测)已知2＋2
3＝2·
2
3，3＋
3
8＝3·
3
8，
4＋4
15＝4·
4
15， (8)
a
t＝8·
a
t
(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________. 【解析】由所给等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.
【答案】71
7．观察下列等式：3
1×2×
1
2＝1－
1
22，
3
1×2
×
1
2＋
4
2×3
×
1
22＝1－
1
3×22
，
3
1×2
×
1
2
＋4
2×3×
1
22＋
5
3×4
×
1
23＝1－
1
4×23
，……，由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N
＋，
3
1×2
×
1
2＋
4
2×3
×
1
22＋…＋
n＋2
n(n＋1)
×
1
2n＝________.
【解析】观察所给等式知，第n个等式的右边为1－
1
(n＋1)×2n
.
【答案】1－
1
(n＋1)×2n
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为
r＝a2＋b2
2，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.
【解析】利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P－ABC，且PA，
PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝a2＋b2＋c2
2.
【答案】在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，
PC＝c，则三棱锥P－ABC的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c2
2
三、解答题
9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2－1－6(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)
个小正方形．
图2－1－6
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2，
f(4)－f(3)＝4×3，
……
f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．
∴f(n)－f(1)＝4
＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.
10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命
题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值
3
2a.类比上述命
题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．
【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的
距离之和是定值6
3a.
证明：设M是正四面体P－ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.
由于正四面体四个面的面积相等，故有：
V P－ABC＝V M－ABC＋V M－PAB＋V M－PAC＋V M－PBC
＝1
3·S△ABC
·(d1＋d2＋d3＋d4)，
而S△ABC＝3
4a
2，V P－ABC＝212a3，
故d1＋d2＋d3＋d4＝6
3a(定值)．
11．(1)下图(a)，图(b)，图(c)，图(d)，为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？请将结果填入下表中．
(a)(b)(c)(d)
顶点个数边的条数区域个数
(a)
(2)
什么关系．
(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边．
【解】(1)各平面图形的顶点个数、边的条数、区域个数分别为：
(a)3,3,2.
(b)8,12,6.
(c)6,9,5.
(d)10,15,7.
(2)观察：3＋2－3＝2.
8＋6－12＝2.
6＋5－9＝2.
10＋7－15＝2.
通过观察发现，它们的顶点个数V，边的条数E，区域个数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个图有1 996条边.。