两个向量 的夹角
向量在轴上 的正射影
向量的 数量积
2 分析背景 形成概念
问题 1 这个物理背景涉及哪些矢量？ 影响功的因素有哪几个？
F
s
W | s || F | cos
b
B
b
a
O
aA
2 分析背景 形成概念
1.两个向量的夹角
已知两个非零向量 a ，b ，作 OA a ，
OB b ，则 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹
教学过程
1
2
3
4
5
创
分
应
归
回
设
析
用
纳
顾
情
背
概
性
反
境
景
念
质
思
引
形
探
学
拓
入
成
究
以
展
背
概
性
致
延
景
念
质
用
伸
1 创设情境 引入背景
1 创设情境 引入背景
想一想
大力士拉车,沿着绳
F
子方向上的力为 F ,车的
位移是 s ，力和位移的
夹角为 ，所做的功为
s
多少？
W | s || F | cos
2 分析背景 形成概念
角，记作 a, b .
b
a, b b, a
B
b
a
O
aA
2 分析背景 形成概念
规定
1. 0 a,b ；
b
2.当
a, b
2
时，则称向量
a
a 与向量 b 互相垂直.记作
a b；
3.零向量与任意向量垂直.
2 分析背景 形成概念
找一找
如图，在等腰直角 ABC 中， C 90 ,
求出下列两个非零向量的夹角.
4.性质 1 若 e 是单位向量，则 a e e a | a | cosa, e ， 表示 a 在 e 方向上的正射影的数量.
3 应用概念 探究性质 一例
二练
三探究
3 应用概念 探究性质
讲一讲
例 已知| a | 5 ,| b | 4 , a,b 120 ,求 a b .
3 应用概念 探究性质
教学重点、难点
教学重点
平面向量数量积的定义和性质
教学难点
理解向量在轴上的正射影及其数量； 发现平面向量数量积的性质
教法学法
教学方法
情境式和问题 探究式相结合
学法指导
自主探究与 合作交流
教法 学法
教学手段
多媒体和 导学案
教学过程
物理背景 抽象概括 问题探究
追溯
概念的起源
揭示
概念的内涵
发现
概念的外延
sa
W | s || F | cos F b a b | a || b | cosa,b
W ab
F
s
2 分析背景 形成概念
3.向量的数量积
定义 已知两个非零向量 a , b ，把数量| a || b | cosa,b 叫
做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a b ，即 a b | a || b | cosa, b .
能力
➢具备数学建模能力 ➢抽象能力有待提高
教学目标
情感态度与 价值观目标
通过物理背景，体 会向量的科学价值, 培养探索精神，提 高应用意识.
教学 目标
过程与方法目标 通过分析实际问题,经历 由特殊到一般、由具体 到抽象的过程；渗透分 类讨论、数形结合等思 想方法.
知识与技能目标
理解向量数量积的 含义及其物理意义 ；初步掌握数量积 的性质；培养抽象 思维能力.
（3） a a | a |2 即| a | a a ；
（4）
(1) AC, AB =___；
C
(2) CA, CB =____；
A
B
(3) CB, BA =____.
错 解 重 现
注意：求两个向量的夹角时要将两个向量平移到同一始点.
2 分析背景 形成概念
问题 2 如何作出力 F 在位移 s 方向上的 分力？它的大小是多少？
F
|
F
|
cos
s
W | s || F | cos
规定 零向量与任一向量的数量积为 0
2 分析背景 形成概念
定义剖析
1.“ ”是内积运算符号，不能省略也不能用“ ”代替；
2.数量积 a b 的结果是一个实数；
3. a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与b 在 a 方向上的正射影的数量| b | cosa,b 的乘积；性质 5Biblioteka | a b || a || b |
辨一辨
(1) 已知 a b ,求 a b 的值.
（2）已知 a b 0 ，试讨论 a 与 b 是否垂直. （3）试比较| a b | 与| a || b | 的大小.
4 归纳性质 学以致用
向量数量积的性质
（1）如果 e 是单位向量，则
a e e a | a | cos a, e ； （2） a b a b 0 ，且 a b 0 a b ；
.
人教B版 数学 必修 4
2.3.1 向量数量积的 物理背景与定义
山东师范大学附属中学 徐同
.
内容提要
教材
学情 分析 分析
教学 目标
教法
学法
教学
过程
设计 说明
教材分析
物理 背景 抽象
减法
加 法
向量 概念
数 量 积
数乘
平面向量 的数量积
代数
几何
三角
学情分析
知识
➢学习向量的概念和线性运算 ➢了解物理背景：力,位移,功
算一算
(1)已知| a | 2 ，| b | 3 ，a b=3,求 a, b .
性质 4 cos a,b a b (| a || b | 0)
| a || b |
(2)已知| a | 2 ,求 a a .
性质 3 a a | a |2 ,即| a | a a
3 应用概念 探究性质
性质 2 a b a b 0且 a b 0 a b
A
a
O
x
O1 A1
al |a|cos
l
2 分析背景 形成概念
2.向量在轴上的正射影
已知向量 a 和轴 l .作 OA a ，过点 O , A 分别作
轴 l 上的垂线，垂足分别为 O1 , A1 ，则向量 O1A1 叫做 向量 a 在轴 l 上的正射影（简称射影），该射影在轴l
上的坐标，称作 a 在轴 l 上 的数量或在轴l 的方向上 的数量记作 a l .
在轴 l 上的正射影的数量 OA1 .
120
A1 O
l
(2) 已知 a,b 45 ,| a | 2 ，| b | 3 ，求
a
a 在 b 方向上的正射影的数量. 4 5
b
已知两个非零向量 a 和 b ， 则| a | cos a,b 叫做
向量 a 在 b 方向上的正射影的数量.
2 分析背景 形成概念
a l | a | cos
A
a
O
x
O1al A1
l
2 分析背景 形成概念
作一作
分别作出图中 OA ，OB ，OC 在轴 l 上的
正射影，并指出所作正射影的数量的符号.
B
A
C
C1
O B 1 A1 l
2 分析背景 形成概念
练一练
A
(1) 已知| OA | 5 , OA,l 120 ,求 OA