中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例 1】如图 2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 S△PAB 9S△CAB，＝8若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.yCBD1O1A x图 2【变式练习】1.如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为(－2，0)，连结 OA，将线段 OA绕原点 O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ BOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（ 2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB的最大面积；若没有，请说明理由．yBA O x2. 如图，抛物线y =ax2+ bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、 B（2，0），与 y1轴交于点 C，顶点为 D．E（1，2）为线段BC的中点， BC的垂直平分线与x 轴、 y 轴分别交于F、 G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF 上求一点，使△的周长最小，并求出最小周长；yH CDH D（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，C△EFK的面积最大？并求出最大面积．G EAF O B x3．如图，已知：直线y x 3 交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、 C（ 1， 0）三点 .（ 1）求抛物线的解析式;（ 2）若点 D 的坐标为（ -1 ，0），在直线y x 3 上有一点P,使ABO与ADP相似，求出点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使 ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由．2题型二：构造直角三角形【例 2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠ 0）的对称轴为x＝ 1，且抛物线经过A（－ 1，0）、C（ 0，－ 3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点 M，使点 M到点 A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90o的点 P 的坐标．E【变式练习】1．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C．（1）求点 A、 B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ ACD的面积等于△ ACB 的面积时，求点D的坐标；（3）若直线 l 过点 E（ 4， 0），M为直线 l 上的动点，当以 A、 B、 M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式．32. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y= a( x 1)2c(a 0) 与x轴交于A、B两点(点A 在点 B 的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C，其顶点为M,若直线 MC的函数表达式为y kx 3 ,与x轴的交点为 N，且 COS∠BCO＝3 10。

10（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线MC于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度 ?y1O1x3.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k （ x2+x﹣ 1）的图象交于点A（ 1， k）和点 B（﹣ 1，﹣ k）．（1）当 k=﹣ 2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着 x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ ABQ是以 AB为斜边的直角三角形时，求k 的值44. 如图（ 1），抛物线 y x 2 x 4与 y 轴交于点 A ， E （ 0，b ）为 y 轴上一动点，过点 E 的直线y x b与抛物线交于点、 .B C（1）求点 A 的坐标；（2) 当 b =0 时（如图（ 2））， ABE 与 ACE 的面积大小关系如何？当 b 4 时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的 b ，使得 BOC 是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出 b ；若不存在，说明理由 .yyCCEEB OxOxBA A 图（ 1）图（ 2）第 26 题5题型三：构造等腰三角形【例 3】如图，已知抛物线23）与 x 轴交于点y ax bxaA(1，0)B (30)，（ ≠和点 － ， 与 y 轴交于点 C ．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在 x 轴上是否存在一点 Q 使得△ ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P ，使△ CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ m ， m ），点B 的坐标为（ n ，﹣ n ），抛物线经过 A 、 O 、 B 三点，连接 OA 、OB 、AB ，线段 AB 交 y 轴于点 C ．已知实数 m 、 n （ m ＜ n ）分别是方程 x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 的两根．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O 、B 重合），直线 PC 与抛物线交于 D 、 E 两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD 、 BD ．①当△ OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；②求△ BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．62. 如图，抛物线y ax25ax 4 经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥ x 轴，点 A 在x轴上，点 C 在y轴上，且AC=BC．（1）写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（ 2）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由．yC B1A0 1x3．已知抛物线y ax2bx c(a0) 顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，5作垂线，垂足为M，连 FM（如图） .y）向直线y4（1）求字母 a， b，c 的值；（2）在直线 x＝1 上有一点F (1,3)，求以 PM为底边的等腰三角形PFM的 P 点的坐标，并证4明此时△ PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点 N（ 1，t ），使 PM＝ PN恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由 .7题型四：构造相似三角形【例 4】如图，已知抛物线经过A（﹣ 2，0）， B（﹣ 3， 3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作 PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以 P、 M、A 为顶点的三角形△ BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1.如图，已知抛物线经过 A（4， 0）， B（ 1， 0），C（ 0， -2 ）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△ DCA的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标及△ DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3） P 是直线 x=1 右侧的该抛物线上一动点，过P 作 PM⊥ x 轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以 A、P、 M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．82.如图，二次函数的图象经过点D(0 ，73 ) ，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截9得的线段AB的长为 6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使 PA+PD最小，求出点 P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△ QAB与△ ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【例 5】如图，已知抛物线y=错误！未找到引用源。

x2 -错误！未找到引用源。

(b+1)x+ 错误！未找到引用源。

（ b 是实数且b＞ 2）与 x 轴的正半轴分别交于点A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点C．（1）点 B的坐标为，点 C 的坐标为（用含 b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且△ PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△ QCO，△ QOA 和△ QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．9【变式练习】1. 如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A（ 2，3），线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段 AB 绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线 BC 与 x 轴的交于点D．（1）试求出点 D 的坐标；（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，y 并写出其顶点 E 的坐标；（3）在（ 2）中所求抛物线的对称轴上找点 F ，使得B A 以点 A 、 E 、 F 为顶点的三角形与△ ACD相似．1O 1x(图 7)2．已知直线y 1 x 1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90，2使点落在点，点落在点，抛物线y ax2bx c A D C ABA CB D过点、、，其对称轴与直线交于点，P（1）求抛物线的表达式；（2）求∠POC的正切值；y（3）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标。

1O1x1023．如图，二次函数y=ax +bx+c 的图象交x 轴于 A（﹣ 1， 0），B（ 2，0），交 y 轴于 C（ 0，﹣2），过 A， C 画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，且PA=PC，求 OP 的长；（3）点 M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H．①若 M 在 y 轴右侧，且△ CHM ∽△ AOC （点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标；②若⊙ M 的半径为，求点M的坐标．11题型五：构造梯形【例 6】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为(4,0)，点 C的坐标为，直线2(0，2)y x与边相交于点．（1）求点D的坐标；3（2）抛物线y ax 2bx c 经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1. 已知平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝ax2－( ＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4 ，a8) ．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（ 1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（ 1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形 AOMN的面积．2. 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点12P，与 x 轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图 1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒 2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M作直线 MN// x 轴，交 PB于点 N．将△ PMN沿直线 MN对折，得到△ P1MN．在动点 M的运动过程中，设△ P1MN与梯形 OMNB的重叠部分的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式．3. 如图 1，二次函数y x2px q( p 0) 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－ 1），△的面积为5．ABC4（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点（0，）作y轴的垂线，若该垂线与△的外接圆有公共点，求m M m ABC的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．13题型六：构造平行四边形【例 7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（— 1， 0）， B（ 3， 0），C（ 0，— 1）三点。