三角形全等的判定三角形全等的判定类型之一:已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。
求证：△ABC≌△DEF。
类型之二:已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。
求证：AB=DC。
ABC证明：类型之三:已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。
求证：CE=BF类型之四:综合已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A= ∠D。
求证：∠B= ∠E。
证明：1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。
证明：2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。
AECDB1．如图两根长度相同的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明你的理由．审好题目相当于做对这道题的一半！所以，实际应用的题目一定要仔细审清题目，找出各个量之间的关系．本题关键是要将实际生活的语言说明转化为数学上的各个量的关系．“由长度相同的绳子”可知AB＝AC，而要求的是木桩B、C与O之间的距离关系，即求证BO＝CO．有了明确的已知、求证，剩下的就是纯粹的全等证明了．相等．证明：∵由题意AO⊥BC ∴∠AOB＝∠AOC＝90°∴Rt△AOB≌Rt△AOC（HL）∴BO＝CO2．已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC。
本题考察“HL”公理的应用。
要证BE⊥AC，可∠1=90°，只需证∠2=∠C。
从而转化为证明它们所在的△BDF“HL”公理不难得证。
DCE证∠C+∠1=90°，而∠2+与△ADC全等，而这由证明：∵AD⊥BC∴∠BDA=∠ADC=90°∴∠1+∠2=90°在R t△BDF和Rt△ADC中BF ACFD CD∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠C∴∠1+∠C=90°∴∠BEC=90°∴BE⊥AC1. 已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。
求证：∠CAD=∠DBC。
由已知，再加上一组公共边等，可以得到△ABC与△BAD全等，由性质得对应角相等，再由等量公理可得证。
证明：在△ABC和△BAD中，AB AB(公共边)CAB DBA(已知) AC BD(已知)∴△ABC≌△BAD（SAS）∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等）又∵∠CAB=∠DBA（已知）∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠CBA（等量减等量差相等）∴∠CAD=∠DBC。
2. 已知，如图，HI∥BC，JI∥AB。
求证：△BIH≌△IBJ从已知寻找三角形全等的条件：由平行，可以得角等，又有一组公共边，因此选择用角边角公理可证明。
证明：∵HI∥BC ∴∠HIB=∠JBI（两直线平行，内错角相等）∵JI∥BA∴∠HBI=∠JIB（两直线平行，内错角相等）HIB JBI(已证)∴在△BIH与△BIJ中BI BI(公共边)HBI JIB(已证)∴△BIH≌△BIJ（ASA）1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。
要证AF=DE，可证△AFB与△DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证△AEB与△DFC全等。
证明：∵CE=FB ∴CE+EF=FB+EF，即：CF=BE 在△AEB和△DFC中：AFECDAB CDAE DF BE CF∴△AEB ≌△DFC（SSS）∴∠B= ∠C在△AFB和△DEC中：BAB CDB C BF CE∴△AFB ≌△DEC（SAS）∴AF=DE说明：本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目，第一次全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件。
2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。
此题看起来简单，其实不然。
题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌ACD。
因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。
证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∵∠1= ∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）∵D是BC的中点∴BD=CD∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∴∠BED=90°，∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中BD CDDE DF∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴BE=CF 同理可证AE=AF∴AE+BE=AF+CF即AB=AC课时作业：A等级1、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。
△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC2、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。
OA=OB，OC=OD3、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。
△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于D4、判断( )1.三个角对应相等的两个三角形全等. ( )2.顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等. ( )3.全等三角形对应的中线相等.( )4.有一边相等的两个等腰直角三角形全等.5、△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠B′，AB=B′C′，增加条件ABC≌△B′C′A′(ASA). 6、△ABC中∠C=90°,BC＞AC，E在BC 上，且BE=EA. ∠CAE∶∠B=4∶7,则∠CEA=_____. 7、△ABC中，∠C=90°，BE为角平分线，ED⊥AB于D，若AE+ED=5cm,则AC=_______. 8、四边形ABCD中，边AB=DC，AD=BC，∠B=40°,则∠.9、△ABC中，AB=AC，两中线BE，CF交于O，则按条件所作图形中共有对全等三角形.10、如图，AC⊥BE,AC=CE,CB=CF，把△EFC绕点C逆时针旋转90°,E落在______点上，F落在.B等级11、判断( )1.全等三角形的对应角相等，反之也成立. ( )2.周长为16,一边长为5的两个等腰三角形全等. ( )3.有两个角及一条边相等的两个三角形全等. ( )4.有锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.12、BP为∠ABC平分线，D在BP上，PA⊥BA于A，PC⊥BC 于C，若∠ADP=35°，则∠。
13、若△ABC≌△A′B′C′,且AB=10cm，BC=6cm,则A′C′的取值范围为14、在△ABC和△DEF中，∠C=∠D，∠B=∠E，要使两三角形全等，需增加条件( ) A.AB=ED B.AB=FD C,AC=FD D. ∠A=∠F 15、下列条件能判断△ABC≌△DEF的是( )A. ∠A=∠D, ∠C=∠F, ∠B=∠EB. ∠A=∠D,AB+AC=DE+DFB. ∠A=∠D, ∠B=∠E,AC=DF D. ∠A=∠D,AC=DF,BC=EF16、△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶7,则点D到AB的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cmD.12cm17、∠MON的边OM上有两点A、C，ON上有两点B、D，且OA=OB，OC=OD，AD，BC交于E，则①△OAD≌△OBC，②△ACE≌△BDE，③连OE.则OE平分∠AOB，以上结论( )A.只有一个正确B.只有一个不正确C.都正确D.都不正确18、△ABC中，∠C=90°,AC=BC，AD为角平分线，DE⊥AB 于E，且AB=6cm，则△DEB的周长为( ) A.4cm B.6cm C.8cmD.10cm19、B为AC上一点，在AC同侧作等边△EAB及等边△DBC,那么下列式子错误的是( ) A.△ABD≌△EBC B. ∠BDA=∠BCEC.△ABE≌△BCDD.若BE交AD于M，CE交BD于N，那么△NBC≌△MBD20、线段OD=DC，A在OC上，B在OD上，且OA=OB，OC=OD，∠COD=60°，∠C=25 ，AC，BC交于E，则∠BED的度数是( )A.C等级21、已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。
求证：△ADE≌△EFC60° B.70° C.80° D.50°22、已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。
求证：△ABG≌△BCH≌△CAD。
23、已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。
24、已知：AB=CD，AB∥DC。
求证：△ABC≌△CDA。
25、已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD。
求证：DE=BC。
26、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。
求证：∠ABE=∠ACD。
27、已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。
求证：∠CAD=∠DBC。
28、如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AB∥CD．29、如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF，AB=DC，求证：∠ABC=∠DCB.30、我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.证明：△ABC≌*****.(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点B、B1，作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，则∠BDC=∠B1D1C1=90.∵BC=B1C1，∠C=∠C1.∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1.⑵归纳与叙述：由⑴可得到一个正确结论，请你写出这个结论.A等级答案1．3对，△ADE≌△ADF，△DBE≌△DCF，△BDA≌△CDA 2．3对，△OEC≌△OED，△ECA≌△EDB，△OEA≌△OEB 3．3对，△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△ABE≌△ACF 4．1.）× 2.）√ 3.）√ 4.）× 5．∠B=∠C′ 6．70° 7．5cm 8．140° 9．3 10．A、B B等级答案11．1.）× 2.）× 3.）× 4.）√ 12．7.145° 13．4＜A′C′＜16 14．C 15．C16．C 17．C 18．B 19．C 20．B C等级答案ADE EFC21．在△ADE与△EFC中DE FCAED ACB∴△ADE≌△EFC（ASA）22．∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=CAGAB HBC在△ABG与△BCH中AB BCGBA HCB∴△ABG≌△BCH（ASA）同理可证：△BCH≌△CAD ∴△ABG≌△BCH≌△CAD23．∵∠ABC与∠3互补，∠ABD与∠4互补，又∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD1 2在△ABC与△ABD中AB ABABC ABD∴△ABC≌△ABD（ASA）24．∵AB∥CD ∴∠1=∠2AB CD在△ABC与△CDA中1 2AC CA∴△ABC≌△CDA（SAS）25．∵DA⊥AB，CA⊥AE ∴∠DAB=∠EAC ∴∠CAB=∠DAE ∴在△CAB与△EAD中CA ADCAB EAD AB AE∴△CAB≌△EAD（SAS）∴DE=BC26．∵AB=ACD、E分别为AB、AC中点∴AD=AE∴在△ADC与△AEB中AD AEA A AC AB∴△ADC≌△AEB（SAS）∴∠ABE=∠ACDAB AB(公共边)27．证明：在△ABC和△BAD中，CAB DBA(已知)AC BD(已知)∴△ABC≌△BAD（SAS）∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等）又∵∠CAB=∠DBA（已知）∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠C BA（等量减等量差相等）∴∠CAD=∠DBC。