常用软件可靠性模型推导本章针对软件可靠性IEEE P1633标准给出的模型参数的极大似然估计和最小二乘估计的详细推导，给出了求解公式。

随机过程类的软件可靠性数学模型主要包括马尔科夫过程模型(Markov Process Model)和非齐次泊松过程模型(NHPP).一般假定错误出现率在软件无改动的区间内是常数，并且随着错误数据的减少而下降，这样的模型数据马尔科夫过程模型，如Jelinski_Moranda 模型.另外，排错过程中的累积错误数作为时间的函数N(t)在一定的条件下可以近似为一个非齐次泊松过程，这一类的数学模型属于非齐次泊松过程模型。

如Goel_Okumoto 模型，Schneiwind 模型等.另外本章还讨论了一个非随机过程类模型Littlewood －Verrall 模型，L_V 模型应用贝叶斯方法研究软件可靠性。

对于大的样本，极大似然法是非常有效的估计方法，但只针对小样本或者中等大小的样本，用最小二乘法比较好。

下面将针对各个模型给出具体的参数估计推到过程。

1指数模型1.1 指数模型简介与假设 1.2 指数模型推导 ,t R e λλ-=其中为常数则有1λλm(t)=t,MTBF=1.3 指数模型参数估计 (1) 数据要求：测试时间： i t ,00=t ；累计失效数：i n (i t 时刻对应失效数)。

(2) 参数点估计：测试终止时刻测试时间为f t ，累积失效数为f n ，则参数估计值为：f fn t λ=2 Jelinski_Moranda(J_M)模型2.1 J_M 模型简介与假设由Jelinski －Moranda 开发的可靠性模型是最早建立且现在仍然使用着的模型之一，该模型现在正用在麦克唐奈道格拉斯海军工程中。

它是最具代表性的早期软件可靠性马尔可夫过程的数学模型。

随后的许多工作，都是在它的基础上，对其中与软件开发实际不相适合的地方进行改进而提出的。

因此，在这个意义上来说，JM 模型又是对后面的工作有着广泛影响的模型之一。

模型假设为：(1)缺陷检测率（即单位时间内被发现的软件缺陷数，简称缺陷率）与程序当前的残留缺陷数成正比；(2)所有缺陷导致失效的可能性是相同的，每个缺陷的等级相同 (3)缺陷被查出时，失效是相互独立的； (4)缺陷率在相邻失效时间间隔内保持不变(5)软件（测试）运行方式与预测的（实际）运行剖面相同(6)每一个缺陷一旦经检测发现即被瞬时剔除，且不引入新的缺陷； 2.2 J_M 模型推导假设(2)确保不同的失效强度具有相同的分布特性，假设(3)可以简化推导过程，假设(5)确保在某一特定的环境下使用数据采集进行模型评价的正确性在软件的第i-1次失效与第i 次失效的时间间隔内，失效强度函数相同:))1((/10--=i N t φ (1-1)式中，0N -----比率常数, 0N ----观测开始之后软件中的缺陷总数，t 为平均失效间隔我们先推导时间t 所经历的故障数M(t)。

由于J-M 模型为二项型式模型所以M(t)＝m 的概率服从二项式分布，即()[]()[]()[]mu a ma mu t F t F C m t M P --==001(1-2)其中()t F a 是累计分布函数，0u 是初始时刻，软件潜在的总失效数。

它的均值函数为()()t F u np t u a 0==，(1-3)对()t u 微分可得故障强度()()t f u t a 0=λ(1-4)由于()()[]()[]()[]111111|1|1|0-+--+-+---=-==i jai j i j a i j i u i j t tF t t F C i t M i t M P 其中()1|-i j a t t F ＝()()()111----i a i a j a t F t F t F所以[]()()[]∑=----====≤01||111u ij i j i i i i i t M j t M P t T t T P()[]110|11+----=i u i i a t t F(1-5)又()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰ta a dx x Z t R t F 0exp 11(1-6)所以()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰tt a e a e dx x Z t t F exp 1| (1-7)()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==>⎰⎰--+---ii ii t t a i u t t a i i i i dx x Z i u dx x Z t T t T P 1011ex p ex p |0111(1-8)又()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--==>=⎰+-----'111exp ||0111'ii i t t t a i i i i i idx x Z i u t T t T P t t R (1-9)所以()()()()()'10'1'1'1'1||1|i i a i i i i i i it t Z i u dt t t dR t t R t t Z ++-=-=---- (1-10)由J-M 模型的假设知，J-M 模型是指数类模型，即它的单位错误故障率是常数，用Φ表示，()()Φ+-=∴-1|01'i u t t Z i i J-M 模型的概率密度函数()()[]()[]()1'''1''1'1'||1||-----=-==i ii ii i a i i a t tR t tR t t F t t f (1-11)又()[][]()()[]'00''01'1exp 11(exp |i i i i a t i u i u t i u t t f Φ+--Φ+-=Φ+---=-()[][]''01(exp i i t i u t f Φ+---=()()[]'001ex p )1(i t i u i N Φ+--Φ--=由失效率函数为：0((1))N i λφ=-- 则累积失效均值函数0()((1))m t N i tφ=--2.3 J_M 模型参数估计-最大似然法 (3) 数据要求：软件发生失效时刻： i t ,00=t ；软件失效间隔序列：i x =i t -1-i t(4) 最大似然法点估计： 参数0N 和φ的似然函数为：∏=+--+-=ni i x i N i N N L 1000})1(ex p{)1(),(φφφ(1-13)取对数，得))1()1((ln ),(ln 0100i ni x i N i N N L +--+-=∑=φφφ0),(ln 0=∂∂φφN L (1-14)0),(ln 00=∂∂N N L φ (1-15)得∑∑===+-ni i ni x i N 11011φ (1-16)φnx i Nni i ∑==+-1)1( (1-17)由上式可得∑∑==+--=+-ni ini x i N t N ni N 10010)1(111(1-18)其中∑==ni ixt 1(1-19)将实际工程中获得的数据代入 ,可得0N 和φ的点估计值0ˆN 和φˆ。

2.4 J_M 模型参数估计-最小二乘法模型参数0N 和φ的估计值也可用最小二乘法求得。

(1) 数据要求：软件发生失效时刻： i t ,00=t ；软件失效间隔序列：i x =i t -1-i t (2) 最小二乘法估计：令20101S(N ,)()(1)ni i x N i φφ==--+∑ (1-20)求S 关于0N 和φ的偏导数，并令其为0。

即21000211()0(1)(1)n i i S x N N i N i φφ=∂=-⋅=∂-+-+∑(1-21)2100112()0(1)(1)n i i S x N i N i φφφ=∂=-⋅=∂-+-+⋅∑ (1-22) 简化以上方程，可得21100223111100001(1)111()()()()(1)(1)1(1)n ni i i n n n ni i i i i i x N i N i x x N i N i N i N i φ======⎧=⎪-+-+⎪⎨⎪=⎪-+-+-+-+⎩∑∑∑∑∑∑(1-23) 从上式中可解出参数的估计值0ˆN 和φˆ。

2.5 J_M 模型基于最大似然法点估计的参数置信区间最大似然法的一个特点就是似然方程的解渐近于正态分布（在大样本容量下），也就是说(1.13)式中的估计值^0N 与^φ，当n 趋近于无穷大时，^00^~,cov N N N φφ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑，其中0N φ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为二维正态分布的均值矩阵，∑cov 是二维正态分布的协方差矩阵， ∑cov ＝()()()()000,cov ,cov ,,D N N N D φφφ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

若给定置信水平1－α，根据简单的数理统计知识，可推导出正态分布期望值0N 和φ的区间估计分别为：^^0011N N μμ⎛-+ ⎝(1.24)与()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---φμφφμφααD D 21^21^,(1.25)，其中21αμ-是标准正态分布的1-2α分位点。

(1.24)式与(1.25)式给出了形式上的模型参数区间估计，关键是如何得到()0D N 与()φD∑cov 可由下式求得：∑cov 00001,,N N N N r r r r φφφφ-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中，0000222000ln ln ln ,,N N N N L L Lr E r r E r EN N N φφφφφφφ∂∂∂=-==-=-∂∂∂∂∂∂ 由上面推导得出，()'01ln 1n i i L n N i t φφ=∂=--+∂∑，则22ln 1L n φφφ∂=-∂∂，2'10ln ni i L t N φ=∂=-∂∂∑ 又'1100ln 11n n i i i L t N N i φ==∂=-+∂-+∑∑， 则()221000ln 11ni L N N N i =∂=-∂∂-+∑ -=∴φφr 2221)1(ln φφφφn n E L E ==∂∂∂， 00N N r r φφ=＝2'10ln n i i L E Et N φ=∂-=∂∂∑，因为()'0111iEt N i λφ==-+所以00N N r r φφ=＝()1011ni N i φ=-+∑，00N N r =()221000ln 11ni L E N N N i =∂-=∂∂-+∑ 令00N N r a =，00N N r r b φφ==，c r =φφ，求解00001,,N N N N r r r r φφφφ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，并对应协方差矩阵，得到()()()0222211001111nni i cnD N ac b n N i N i φ====-⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭∑∑(1.26)()()()()21022221100111111n i nni i Ni aD ac b nN i Ni φφφ===+-==-⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭∑∑∑(1.27)将(1.26)式与(1.27)式分别代入(1.24)式与(1.25)式，并用最大似然估计量^0N 与^φ分别代替式中出现的0N 与φ，即可得到完整的J-M 模型参数的最大似然法区间估计。