一质点相对另一质点沿闭合路径运动一周，它们的相互
作用力做功为零，则该力就是保守力。
f
dr
B
A
f
dr
A
B
f
dr
ALBLA
L
L
L A
B
f
dr
B
f
dr
0
A
A
L
L
§4.3 保守力与势能
B L
2.势能
A引
Gm1m2 rB
Gm1m2 rA
A弹
1 2
ksA2
1 2
ksB2
A引
Gm1m2 r
rB rA
动量 角动量
能量
对称性
空间平移 空间转动 时间平移
时空性质
空间均匀性 空间各向同性
时间均匀性
其他守恒量与对称性：
守称守恒 空间反演对称性
§4.7 守恒定律的意义
§4.8 碰 撞
Collisions
碰撞的特点
物体由接近、产生强烈的相互作用，到分离的过程。
特点：持续时间短、作用力大
物体运动状态变化明显（有动量、能量传递）
A点势能可表为
Ep ( A)
Ep 0 A
f保
s0
dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
引力势能曲 线
引力势能是空间变量
r 的函数——势能函数
重力势能是在地球
Ep O
Ep
r0
Gm1m2 r
r
Gm1m2 r0
Ep
Gm1m2 r
表面小区域内的引力势能：
Ep 0 h
Ep
GM Em RE h
如果 Aex Ain,n-cons 0，则 E 常量。
守恒
机械能守恒定律：在只有保守性内力做功的情况下，
质点系的机械能保持不变。
说明：
机械能守恒定律是由牛顿定律导出的，它在惯性系 中适用。
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运 动中的特例。
能量守恒定律：在封闭系统中，无论其内部经
历怎样的变化，该系统的所有能量的总和保持不变。
GM Em RE
Ep
RE
RE >> h
m GM E h RE (RE h)
m GM E h mgh RE2
Ep mgh
h O
§4.4 引力势能与弹性势能
弹性势能曲 线
l0 l s
(x s l l0 ) x
Ox
s0 O
弹性势能曲线为抛物线，
存在极小值。势能极小值点是
稳定的平衡点。
[例] 讨论悬挂弹簧的势能。
机械能 其他形式的能量
Aex Ain,n-cons
§4.6 机械能守恒定律
[例] 求第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度。
第一宇宙速度——物体绕地球运行的最小速度； 第二宇宙速度——物体脱离地球引力的最小速度； 第三宇宙速度——物体脱离太阳系的最小速度。
解：（1）第一宇宙速度 设物体绕地球以半径 r 做圆周运动。
保守力及其势能都是空间分布的函数（力场，势函数）
保守力
积分 微分
势能
A
f
r
fl
r Ep
fl l Ep
fl
Ep l
取极限得方向导数：
fl
Ep l
fx
Ep x
fy
Ep y
fz
Ep z
f
l
n
r
r
E
Ep
p
l
Ep
坐标方向上的方向 导数——偏导数
§4.5 由势能求保守力
f
于质点初、终态的相对位置（决定了弹簧伸长量）。
§4.3 保守力与势能
（3）保守力和非保守力
A引
Gm1m2 rB
Gm1m2 rA
A弹
1 2
ksA2
1 2
ksB2
做功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态
的相对位置，具有这种性质的反力之称，为做保功守与力相。对路径有关的 力称为非保守力。
与之等价的另一种定义：
第4章 功和能
Work and Energy
第4章 功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。
与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普的量度。
§4.2 动能定理
2.质点系的动能定理
考虑两个质点构成的质点系：
对m1质点：
B A (F1
f12
)
dr1
Ek1,B
Ek1, A
dr1
f12
f21
m2dr2
m1
对m2质点：
B A (F2
f21)
dr2
Ek 2, B
Ek2,A
相加，得
B
时物体离地球无限远，物体与地球的引力势能为零。
1 2
mV32
GM E m RE
1 2
mv
2 OE
1 2
m(vOS
u)2
2
V3
2gRE
2GM S rE S
u
16.7 km/s
§4.7 守恒定律的意义
Signification of the Laws of Conservation
守恒量
A
B
F
d r
A
L
A
线积分
§4.1 功
2.合力的功
如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力 的功：
A
B
F
dr
A
B A
i
Fi dr
i
B A Fi
dr
Ai
i
结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。
3.功率
功率的定义：单位时间内所做的功。即 A dA
P lim t0 t dt
§4.1 功
4.一对力的功
设两个质点m1和m2之间的相互作 用力为：
f12 ——质点1受质点2的作用力；
dr1
m1
f12
f21
dr2
m2
f21 ——质点2受质点1的作用力。
这两个力的元功之和为：
dA
f12
dr1
f21
dr2
f12
dr1
f12
dr2
f1122
d(d(r1
rd2r)2 )
一质点 m，弹簧一端固定于O点，弹
性力 f
A弹
的功：
B
f
dr
A
B
k
A
(r
r0
)
r dr r
O rA
B
A
k(r
r0
)
r r
dr
rB
rA
k(r
r0
)dr
1 2
k (rA
r0
)2
1 2
k (rB
r0
)2
B
rB
f
rm
A
A弹
1 2
ksA2
1 2
ksB2
s r r0 为弹簧的伸长量
结论：弹性力的功与质点运动的相对路径无关，只决定
；
物体对地球的速率为
vO
。
E
vOE vOS u
先考虑物体脱离太阳引力的条件是： vOE vOS u
当物体离太阳无限远时速率刚好为零。
设
vO
表示物体逃逸地球时对太阳的速率。
S
1 2
mv
2 OS
GMSm rES
0
v2 OS
2GMS rES
再考虑物体脱离地球后要具有速率 vOE vOS u ，这
dr1 d(r1 r2 ) 表示m1相对于m2的相对位移；
dA
d r2 f12
d(r2 dr1
r1 ) f21
表示m2相对于m1的相对位移。
dr2 与参照系的选取无关
§4.1 功
§4-2 动能定理
Theorem of Kinetic Energy
1.质点的动能定理
力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？
考虑质点系的动能定理： Aex Ain EkB EkA
内力
保守力 非保守力
Ain Ain,cons Ain,n-cons
Aex Ain,cons Ain,n-cons EkB EkA
Aex Ain,n-cons EkB EkA Ain,cons
Ain,cons (EpB EpA )
A弹
1 2
ks2
sB sA
Ep
Gm1m2 r
A保 E p
Ep
1 2
k s2
引入势能的概念：保守力做功等于势能的减少量。
说明： 势能是与质点系内质点的相对位置相关的能量。
§4.3 保守力与势能
§4.4 引力势能和弹性势能
Gravitational Potential Energy and Elastic Potential Energy
位移设元质dr点，受则力该为力F做，功它d的A表空示间为位置发生一无限小的位移——
dA
Ft
dr
F
drcos
dA
F
dr
元功
注意：功是一个标量。 有正有负：
当 0 90 时，dA 0 ； 当 90 180时，dA 0。
L
B
dr F
质点沿曲线 L 从 A 到 B ，整个路径上的 功为元功之和：
f12 rA