E(t1) E(t2 ) const.
• 对于只有保守内力做功的系统，系统的机械能保持守恒。
第一篇 力 学
第四章 功和能
• 前一章从时间的角度分析了力的累积效果，导出了动量定理。 • 如果从空间的角度讨论运动的起点与终点的运动状态间的联系，
或者说分析力的空间累积效果，是否有类似的定理? 动能定理 • 多个质点组成的质点系是否有类似定理成立?
第一篇 力 学
§4.1 功 一、功 功的计算
力在某一过程中对空间的累积效果，可以用功来表示。
变力做功
10
10
10m
o
A Fdx (10 0.2x)gdx
0
0
10 g (10 0) 0.2g 10 2 0
2
1000 100
900 J
第一篇 力 学
例2．一个质点沿如图所示的路径运行，设所受外力F=(4-2y)方向始终指
向x轴正向，求F沿着两条路径对该质点所作的功，（1）沿OBC；（2）
(2)写出元功的表达式，选定积分变量；
(3)确定积分限进行积分，求出总功。
3 功的几何图示 从几何的角度来看，F(x)曲线下方的面积正好等于所做的功。
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二、合力的功
A＝ F合 dS＝ ( Fi ) dS ( Fi dS) Ai
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
A mg h1 h2
A ( GMm ) ( GMm )
r1
r2
A
1 2
k x12
1 2
k x22
重力势能 引力势能 弹性势能
Ep mgh
Ep
G
Mm r
Ep
1 2
k x2
保守力作功等于势能增量
的负值（势能的减少）
A Ep2 Ep1 Ep
第一篇 力 学
2、关于势能的说明 • 只有对保守力，才能引入势能的概念 • 势能是物体状态的函数 • 势能具有相对性，势能的值与势能的零点有关
(dd(rr22
dr1r)1 )
dA
F21
dr21
一对力做的总功就是上式的积分： A
dA
b a F21
dr21
一对力的功等于其中一个力对相对位移的积分，与参照系的选择无关。
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§4.2 动能定理
问题：一质量为m的物体在合外力F的作用下，由A点运动到B点，其速
度的大小由v1变成v2。求合外力对物体所作的功与物体动能之间的关系。
解得
v v0 2
再列出AB系统的动能定理:
mA gL
1 2
(mA
mB
)v2
1 2
mAv02
可解出B板长度 L v02
4g
为求滑动距离，单独对B使用动能定理：
mA
gs
1 2
mB v 2
0
解得 s v02
8g
第一篇 力 学
例2：P101 例4.3
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§4.3 势能 一、保守力和非保守力
r
r0
令 r0 处势能为零，则引力势能表示为：
Ep
(r
)
Gm1m2 r
EP (r)
r
O
引力势能曲线：
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§4.4 机械能守恒定律 一、质点系的功能原理
把质点系动能定理和保守力做功的特点结合起来，总结做功与能 量的关系：
A外 A内 Ek 2 Ek1
质点系动能定理
A内 A内保守 A内非保守
每一个质点的动能定理
A1外 A1内 Ek1 Ek10 A2外 A2内 Ek 2 Ek 20 An外 An内 En1 En10
全部相加
n
n
n
n
Ai外 Ai内 Eki Eki0
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
A外 A内 Eki Eki0
i 1
i 1
作用于质点系的内力和外力所作的功等于系统动能增量——质点系的动 能定理（一对内力做功不为零，内力做功也要改变系统的动能）。
例1、木板B静止置在光滑水平台面上，小木块A放在B板的一端上，如 图所示。设A与B之间的摩擦系数为u，mA=mB，现在给小木块A一向右 的水平初速度v0，如果A滑到B另一端时A、B恰好具有相同的速度，求 B板的长度L以及B板滑动的距离s。
A
v0
B

v
B
水平方向AB系统动量守恒： mAv0 (mA mB )v
F
m
xgi
元位移
dr
dxi
l
元功表达式
x
dA
F
dr
m
xgdx
l
从开始滑动到链条全部离开桌面，总功
x
A l m xgdx mg (l 2 a2 )
al
2l
根据质点系动能定理 A 1 mv2 0 2
能用牛顿第二 定律算吗？
末速度为 v g (l 2 a2 ) l
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• 动能是状态量，功是过程量。
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例1、t=0时质点位于原点，且初始速度为零,力随着质点运动的距离线
性减小, x=0时, F=F0 , x=L时, F=0。试求质点在x= L/3 处的速率。
F F0
F 0
x
O L/3
L
解：已知受力，求运动状态。选择坐标系：选运动为正方向；
写出力的表达式：
三、功率
定义 单位时间内完成的功，叫做功率。 P dA
可以用功率来衡量做功的快慢。
dt
P
dA
F
dr
F
v
dt
dt
几个功率的数量级：
睡眠 70－80W
闲谈 70－80W
走路 170－380W 听课 70－140W
跑步 700－1000W 踢足球 630－840W
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例1．一人从10m深的井中提水，开始时桶中装有10kg的水，但是由于 水桶漏水，每升高1m要漏出0.2kg的水。忽略水桶的质量，问此人要将 水桶从井底匀速拉升到井口，需要做多少功。
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1、重力势能
Ep (r)
r0 r
v F保守
drv
Arr0
（ro 处为势能零点）
Ep (h)
h0 h
mgdh
mgh
mgh0
令 h0 0 处势能为零，则重力势能表示为：
Ep (h) mgh
Ep (h)
重力势能曲线：
O
h
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2、弹性势能
Ep (r)
r0 r
v F保守
沿OAC。
解：本先写出力的表达式 F (4 2 y)i
y A 2m C
Fx 4 2 y Fy 0
2m
（1）OB段：y=0,dy=0, BC段：x=2,Fy=0
O
B
x
AOBC
F
dr
F
dr
2
(4
2 0)dx
0
8J
OB
BC
0
（2）OA段：Fy=0, AC段：y=2
AOAC
F
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2、弹性力作功
F
o
x1
x
x2 x
dx
F＝
kxi
dA
F
dx
kxi
dxi
kxdx
A
x2 x1
kxdx
1 2
k x12
1 2
k x22
弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所 经过的路径无关。
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3、万有引力作功的特点
dA
F
dl
－G
mM r2
er
dr
F
B
v2
dA dEk
我们考虑从起点A到终点B的过程：
B F dr
A
EkB
dEk
EkA
1 2
mvB2
1 2
mvA2
质点的动能定理：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。
说明
• 只有合外力对质点作功，质点的动能才发生变化。
A > 0 Ek 增大 A = 0 Ek 不变 A < 0 Ek 变小 • 质点的动能定理只适用于惯性系。
根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即保守力与非保 守力。力学中最重要的保守力有三个：重力、万有引力和弹性力。我们 来看看它们做功的特点：
1、重力作功的特点
h
drdh
dr
h1
mg
h2
o
dr
dxi
dhj
dA mg dr mgdh
A
h2 h1
mgdh
mg
h1
h2
重力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关。
第一篇 力 学
例4-3 在图中，一质量为m，长为l的柔绳放在水平桌面上，绳与桌面间
的摩擦系数μ，试求：
1) 绳下垂的长度a 至少要多长才能开始滑动？ 2) 从下垂长度a开始滑动到绳子全部离开桌子时的速度？
第一篇 力 学
解：分析系统所受外力为悬挂的链条部分的重力，且属于
O
变力做功。选择竖直向下为x轴正方向；写出力的表达式：
重力势能：零点可以任意选择，一般选地面； 引力势能：零点选在无穷远点； 弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。
与参考系的选取有关吗？
• 势能属于系统，势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。 重力势能：物体和地球组成的系统 引力势能：两个物体组成的系统 弹性势能：物体和弹簧组成的系统
• 各种势能可以相加，变为总势能。