——[北宋]欧阳修:《卖油翁》
为之则难者亦易矣。 ——[清]彭端淑:《为学》
五. 爆炒证明题
例4. 已知三角形ABC中, 点D, E, F分别是边BC,
CA, AB的中点, 求证:AD + BE + CF = .
证明: 因为D, E, F分别是BC, CA, AB的中点,
所以BD
=
1 2
BC,
CEห้องสมุดไป่ตู้
条件
结论
例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明A1 + B1也
是可逆矩阵.
|A|, |B|, |A+B| 0
A, B, A+B可逆
Ax = 只有零解
A, B, A+B满秩
… A的行(列)向量组 A, B, A+B与I相抵 线性无关
|A1+B1| 0
注意到 这几个矩阵 都是方阵
…
(A1+B1)x = 只有零解
万一AD = 2BC =
怎么办?
小样儿, 还想刁难我! 看我怎么摆平你!
例5. 设, 为两个不共线的向量, AB = +2, BC = 4 , CD = 5 3 ,
可见A1 + B1是可逆矩阵.
四. 怎样提高解决证明题的能力
学而不思则惘，思而不学则殆。 敏而好学，不耻下问。 工欲善其事，必先利其器。
——[春秋]《论语》
千里之行始于足下。 ——[春秋]《老子》
四. 怎样提高解决证明题的能力
不积跬步无以至千里。 锲而不舍，金石可镂。
——[战国]荀子:《劝学》 无他，惟手熟尔。
…, kn使k1e1+k2e2+…+knen = .
所以e1, e2, …, en线性无关.
… …
… …
… …
…
1
0
0
例1. 设e1 =
0
, e2 =
1
0 , …, en =
,
0
0
1
证明: (1) e1, e2, …, en线性无关.
(2) 任何一个n维向量都能由
e1, e2, …, en线性表示.
A1+B1满秩 A1+B1与I相抵
A1+B1的行(列)向量组线性无关
A1 + B1可逆
例3. 设A, B, A+B都是可逆矩阵, 证明A1 + B1也 是可逆矩阵.
证明: 因为A, B, A+B都是可逆矩阵, 所以|A|, |B|, |A+B|都不为零. 于是可得 |A1 + B1| = |A1I + IB1| = |A1(BB1) + (A1A)B1| = |A1(BB1) + A1(AB1)| = |A1(BB1 + AB1)| = |A1(B + A)B1| = |A1(A + B)B1| = |A1| |A+B| |B1| = |A|1 |A+B| |B|1 0.
《线性代数》证明题
东南大学数学系
一. 为什么要练习解决证明题
培养严谨的逻辑思维能力。 为什么要培养严谨的逻辑思维能力？ 竞争。 为什么要竞争？ 生存。 为什么要生存？ 本能。
二. 我们为什么觉得证明题难
• 不清楚题目所涉及的概念 • 不熟悉现存的有关结论 • 分不清条件的必要性与充分性 • 不善于组织语言 • 没有积累足够的经验 • 没有深入思考
=
1 2
CA,
AF =
1 2
AB,
因而AD + BE + CF
A
= (AB+BD)+(BC+CE)+(CA+AF)
=
3 2
(AB+BC+CA)
= .
B
F. . D
.E C
例5. 设, 为两个不共线的向量, AB = +2, BC = 4 , CD = 5 3 ,
证明: 四边形ABCD是梯形.
证明: 因为AD = AB + BC + CD = 8 2 = 2BC.
三. 证明题的难度分类
1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式
定义/定理/性质/推论/公式
条件
结论
检验
1
0
0
例1. 设e1 =
0
, e2 =
1
0 , …, en =
,
… … …
0
0
1
证明: (1) e1, e2, …, en线性无关.
(2) 任何一个n维向量都能由
e1, e2, …, en线性表示.
a1 x1
0
0
a2 = 0 + x2 +…+ 0 ,
…
… … …
an 0
0
xn
由此可得x1=a1,
x2=a2,
…,
xn=an.
这只是 必要条件
经检验, = a1e1+a2e2+…+anen
确实成立,
所以任何一个n维向量都能由e1, e2, …, en线性表示.
三. 证明题的难度分类
1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式 2. 从条件往下推一步+从结论往回推一步
条件
对接
结论
定义/定理/性质/推论/公式
例2. 设1, 2, 3线性无关, 证明 1= 1+2+3, 2= 2+3, 3=3
也线性无关.
1, 2, 3线性无关
由l11+l22+l3 3 = 推出l1=l2=l3=0
由k11+k22+k33 = 推出k1=k2=k3=0 1, 2, 3线性无关
证明:若k11+k22+k33 = , 即k1(1+2+3)+k2(2+3)+k33 = , 亦即k11+ (k1+k2)2+(k1+k2+k3)3 = .
不存在不全为零的数
k1, k2, …, kn 使
k1e1+k2e2+…+knen = .
证明: (1) 若k1e1+k2e2+…+knen = ,
k1 0
00
即 0 + k2 +…+ 0 = 0 ,
…
…
… …
… …
00
kn 0
k1 0 亦即 k2 = 0 , 可见k1=k2=…=kn=0.
kn 0 这就是说不存在不全为零的数k1, k2,
a1
1
0
0
a2 = a1 0 + a2 1 + … + an 0
an
0
0
1
…
… …
… …
a1
1
0
0
证明: (2) 因为 a2 = a1 0 + a2 1 + … + an 0
an
0
0
1
a1 对于任意的n维向量 a2 都成立,
an 所以任何一个n维向量都能由
线性表示.
e1, e2, …, en
证明: (2) 对于任意的n维向量 =(a1, a2, …, an)T, 设 = x1e1+x2e2+…+xnen, 即
又因为1, 2, 3线性无关,
所以k1 = k1+k2 = k1+k2+k3 = 0.
由此可得k1 = k2 = k3 = 0. 这就是说, 不存在不全为零的数k1, k2, k3
使k11+k22+k33 = .
所以1, 2, 3线性无关.
三. 证明题的难度分类
1. 直接用定义、定理、性质、推论、公式 2. 从条件往下推一步+从结论往回推一步 3. 要走好几步而且有分岔, 可能要讨论, 归纳