地震作用下结构相应自学报告运动方程
反应量
反应时程
反应谱
位移，伪速度与伪加速度反应谱
联合反应谱
反应谱应用－确定结构峰值反应
反应谱与设计反应谱
1.运动方程
图1 地面运动时结构响应示意
如图单自由度结构，在地面运动时质点处于动平衡状态，根据达朗贝尔原理，质点动平衡方程可以表示为：
f I+f D+f S=0（1-1）
其中，f I为惯性力，f D为阻尼力，f S为结构给质点的弹性回复力。

在平衡关系的三项中，惯性力取决于质点的绝对加速度，而弹性回复力和阻尼力则分别取决于结构变形和变形速度，即相对变形和相对速度。

因此，式（1-1）可表达为：
mu t+cu+ku=0（1-2）
其中，上标t的量为绝对坐标系下的量，无上标的量为地面参考系下的量。

对于加速度而言，由于地面参考系与绝对加速度没有相对转动，因此有
u t=u+u g（1-3）
其中u g为地面运动的加速度。

将式（1-3）代入（1-2）并进行整理，得到一般单自由度线弹性结构在地震激励下的运动方程：
u+2ζωn u+ωn2u=−u g（1-4）
2.反应量
对于工程结构在地震中的响应，我们一般关心结构在地震中的内力和变形，而对于一些振动敏感的仪器设备，还会关注该处的绝对加速度。

对于给定结构，结构内力和变形取决于相对位移，同时相对速度对结构的阻尼力也起到了绝对作用。

因此地震中我们应关注结构的相对量u，u和u以及绝对量u t，u t和u t。

3.反应时程
反应时程是指在一次地震中某个结构的特定物理量随时间变化的情况。

在单自由度体系中，由结构的质量、刚度性质和地震动的具体输入，可以通过动力学方法计算出位移随时间的变化规律。

另一方面，为了简化计算过程并且不失真实的表达结构的振动情况，使用等效静力法来计算结构的内力，这里引入了伪加速度A的概念，其量纲与加速度u相同，数值上为ωn2u，作用在质点上以为静外力对结构内力进行计算。

A=ωn2u（3-1）
4.反应谱
对于一给定地震动，我们在考察结构在该地震动下的响应时，最关心结构的最大响应，包括最大位移、最大速度和最大加速度，此时结构的最大响应只与结构的固有周期和结构的阻尼比有关。

将同一阻尼比的不同周期的结构在该地震动作用下的最大位移、速度和加速度分别画在图表中，即得到该地震动的位移、速度和加速度的反应谱。

反应谱的横轴为结构的固有周期，纵轴为地震动引起的结构的最大响应，即最大位移、最大速度或最大加速度，对于一特定阻尼比，一个地震动对应一组反应谱，因此，反应谱反映的是地震动的固有特性。

图2直观的表现出了反应谱的含义。

图2 反应谱的直观含义
5.位移，伪速度和伪加速度反应谱
5.1位移反应谱
应用动力学方法，对于一给定的地震动，通过式（1-4）可以解出（或数值
的解出）某个结构的整个时间段的位移，而通常对于结构设计而言最关心的是结构的最大位移。

将同一阻尼不同周期的单自由度结构在该地震动的作用下解出，并分别求出其各自的最大位移，在最大位移-周期图中形成一条曲线，则该曲线
则为这一地震动在该阻尼条件下的反应谱。

完整的位移反应谱还应包含多个阻尼，在图中表现为多条曲线。

这样在考察结构在地震下的响应时可以非常直观方便的找到结构位移的最大值。

5.2伪速度反应谱
定义峰值相对伪速度（或叫做峰值伪速度）V如下式（5-1）
V=ωn D=2π
T n
D（5-1）
该物理量V与速度具有相同的量纲，同时又能够简单的表征出体系中的应变能E So如下式（5-2）
E So=ku o2
2=kD2
2
=k(Vωn)2
2
=mV2
2
（5-2）
对于已经通过计算得到位移反应谱的地震动而言，通过式（5-1）可以立即计算出结构的伪加速度反应谱。

在实际设计中，由于伪速度反应谱更加直接的反映结构应变能的情况，所以可能使用更加方便，也较真实速度反应谱更加重要。

同时在一般情况下，伪速度反应谱的值小于速度真实速度反应谱，所以针对某些速度敏感设备基础的设计上，还需要对其加以区别。

5.3伪加速度反应谱
定义峰值伪加速度A如式（5-3）所示，对于已经计算出速度反应谱的地震动而言，利用该式即可直接计算出伪加速度反应谱。

V=ωn2D（5-3）
根据式（3-1），伪加速度相对于加速度能够更加直接的用等效静力法来计算结构的峰值内力。

与伪速度反应谱不同的是，伪加速度与真实加速度谱的曲线更加接近，在阻尼为0时两者没有差别，但随着阻尼加大，两者的差别逐渐加大。

6.联合反应谱
对于位移反应谱、伪速度反应谱和伪加速度反应谱，当计算得到其中一个后，根据结构的固有周期等条件可以计算出其他反应谱，因此三个反应谱之间是有大量重复信息的。

在如图3所示坐标系下，可以用一条曲线表达位移、伪速度和伪加速度反应谱，曲线上一点分别向四个坐标轴作垂线，即可得到该点所表示的周期和它所对应的峰值反应。

图3 D-V-A联合反应谱
7.反应谱应用—确定结构峰值反应
对于已经确定反应谱的地震动，我们可以通过简单的查图的方法确定某一周期单自由度结构体系的峰值反应，从而采用静力学的方法即可找到地震中结构的最大反应，包括最大变形、最大内力等。

使用反应谱进行结构峰值反应的计算，可以有效避免大量的动力计算，使结构动力问题转化为静力问题。

8.反应谱与设计反应谱
在结构设计中，采用某一次地震的反应谱是明显不恰当的，同时真实地震反应谱往往是非常复杂的，记录的大量的非共性的地震动信息，在使用上也造成的不便。

因此，我们希望能够建立一套便于进行抗震设计的反应谱，它由一系列直
线或光滑曲线组成，同时又能够表征一般地震的共性的信息，即保障结构抗震设计的安全性，同时又使得该反应谱在计算上具有可行性。

首先收集大量的某一地区的地震动，在一特定阻尼下，将这一组地震动的特性表现在D-V-A联合反应谱中，分别求这一组曲线的均值和变异系数。

将均值曲线和均值加一倍标准差两条曲线画出后，发现该曲线基本分为三段，分别垂直于A轴、V轴和D轴，用三个轴的垂线进行近似，再乘以相应的放大系数，即可得到联合坐标系下的D-V-A联合设计反应谱，最后根据需要再将曲线从联合坐标轴中提取出来，分别制成位移、伪速度、伪加速度设计反应谱。

设计反应谱的作用是对结构进行抗震设计，需要代表未来可能发生地震的普遍性，而相对的某一地震的反应谱，设计反应谱已经有了很大差别。

但从设计谱的绘制方法和目的来看，应理解这种差异。