(1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nb2n-1}的前 n 项和(n∈N*). 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而 b1=2,所以 q2+q-6=0. 又因为 q>0,所以 q=2,所以 bn=2n. 由 b3=a4-2a1,可得 3d-a1=8①. 由 S11=11b4,可得 a1+5d=16②, 联立①②,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2. 所以数列{an}的通项公式为 an=3n-2,数列{bn}的通项公式为 bn=2n. (2)设数列{a2nb2n-1}的前 n 项和为 Tn, 由 a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有 a2nb2n-1=(3n-1)×4n, 故 Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,
1.2n+
[解析] Sn= +
=2n+
.
2. [解析] ∵an=
-
,∴S20= 1- + - +…+ - = 1- = .
3.(n-2)·2n+2 [解析] Sn=0+1×21+2×22+…+(n-2)×2n-2+(n-1)×2n-1①, 则 2Sn=0+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1+(n-1)×2n②,
,所以 a2=1,a3= ,a4=1,…,可得 an=
故该数列的前
2018 项的和 S2018=1009× 1+ = .
【课堂考点探究】
例 1 [思路点拨] (1)将数列中的项用 a2 和 d 表示,根据等比数列的性质可得到关于 d 的一元二次方程,求
得 d 的值后,即可得到数列 和 Tn.
的通项公式;(2)根据(1)可求得
,
所以 =2
+ +…+ -
=2
=.
2.[2016·全国卷Ⅱ] Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1=1,S7=28.记 bn=[lg an],其中[x]表示不超过 x 的 最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求 b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前 1000 项和.
所以 Tn=2×(1+2+3+…+n)+(4+42+43+…+4n)=2×
+
=n
+ -.
变式题 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=1.
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= -
=n.
又 a1=1 满足上式,
所以数列 的通项公式为 an=n(n∈N*).
(2)由(1)知,bn=2n+ ·n.
记数列 的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n)=
解:(1)等比数列{bn}的公比 q= = =3,
所以 b1= =1,b4=b3q=27. 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27,
所以 1+13d=27,即 d=2, 所以 an=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1, 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1, 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
+- +
-+
- )= (-1- +
+
)= (
+
- -1),故选 D.
3.A [解析] 令 m=1,则 an+1-an=n+1,将 1,2,3,…,n-1 分别代入上式,累加得(an-an-1)+(an-1-an-2)+…
+(a2-a1)= -1,所以 an-a1= -1,即 an= ,所以 =2 - ,则 + +…+ =2 1- + - +…
上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=
-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8,
得 Tn= ×4n+1+ ,
所以数列{a2nb2n-1}的前 n 项和为 ×4n+1+ . 2.[2016·北京卷] 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和.
+n=22n+1-2+n.
故数列 的前 2n 项和 T2n=22n+1+n-2(n∈N*).
例 2 [思路点拨] (1)对于 可根据条件建立关于首项 a1 与公差 d 的方程,求得首项和公差即可求得数列
的通项公式,对于 bn,利用递推关系求解数列的通项公式即可;(2)根据数列 解数列的前 n 项和.
第 31 讲 数列求和
考试说明 1.掌握等差数列、等比数列的前 n 项和公式. 2.掌握一般数列求和的几种常见的方法.
考情分析
考点
考查方向
考例
分组求和 分组后利用等差数列、等 2016 全国卷Ⅱ17, 法 比数列的求和公式求和
错位相减 等差数列与等比数列对应 法 项之积构成的数列的求和
裂项相消
2017 全国卷Ⅱ15,2015 全
∴ 数列 的通项公式为 an=3n-1.
(2)由题意知 bn=
= ·· + = ·· + ,
∴Tn= - + + + - + +…+
+
= -1+
.
强化演练
1.B [解析] an=
=
- ,故 Sn=
- ,令 Sk=
- =9,解得 k=99,故选 B.
2.D [解析] ∵an=
=(
- ),∴Sn= ( -1+ - + - + - +…
∵b1=2,b2=2+2=4=2b1,∴ 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴bn=2n.
(2)cn= = ,则 Tn= + + +…+ + ①,
则 Tn= + + +…+ + ②,
①-②得, Tn= + +…+ - = - =1- ,
∴Tn=2- . 变式题 解:(1)当 n≥2 时,由 an+1=2Sn+3,得 an=2Sn-1+3,
的特点利用错位相减法求
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d.∵a2=2,a3+a5=8,∴a1+d=2,2a1+6d=8,解得 a1=1,d=1,∴an=n. ∵bn+1=Sn+2(n∈N*)①, ∴bn=Sn-1+2(n∈N*,n≥2)②. ①-②得,bn+1-bn=Sn-Sn-1=bn(n∈N*,n≥2), ∴bn+1=2bn(n∈N*,n≥2).
(2)Tn=(- + )+(- + )+…+(- + )=2d(a2+a4+…+a2n)=2d·
=2d2n(n+1),
所以 =
=
【课前双基巩固】 知识聚焦
- = · 1- < .
1.(1)①
na1+
②na1
(2)干个等差或等比或可求和
2.(1)同一个常数 (2)并项法 3.两项之差 4.积 对点演练
又 为正项数列,所以 =
,
所以 =
+,
所以 bn=
=(
-
),故 T20=b1+b2+…+b20= [( -1)+( - )+…
+( - )]= ( -1)=2. 例 4 [思路点拨] (1)将已知条件转化为关于首项 a1 与公差 d 的方程组,进而得到数列 的通项公式;(2) 首先由(1)确定数列 的通项公式,然后根据其结构利用裂项相消法求得 Tn. 解:(1)设等差数列 的公差为 d. ∵ =a3+a6,∴(a1+d)2=a1+2d+a1+5d①, ∵ =a1·a11 ,∴(a1+2d)2=a1·(a1+10d)②. ∵d≠0,∴由①②解得 a1=2,d=3.
裂项后能消去大部分项
法
国卷Ⅰ17
考查热度 ★★☆ ★☆☆ ★★☆
真题再现 ■ [2017-2013]课标全国真题再现
1.[2017·全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 =
.
[答案]
[解析] 设公差为 d,则 a1+2d=3 且 4a1+6d=10,解得 a1=1,d=1,所以 Sk= , =2
两式相减得 S=3× + + +…+ - ,
∴S=3+ + +…+ - =3+