专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法）
【考点讲解】
一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.
考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：
求数列前n 项和的基本方法
（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；
等差：；
等比：
公比是字母时需要讨论.
(理)无穷递缩等比数列时，q
a S -=
11
（2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：
； ；
；
；
（3）倒序相加法求和：如果一个数列
{}n
a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，
那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.
（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、
{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝
的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
形如：
n
n b a +其中，
（6）并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类
型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求
的和.
（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：
；
.
【真题分析】
1.数列2，的前n 项之和为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2.数列{}n a 的通项公式是
，则该数列的前100项之和为（ ）
A ．200-
B ．100-
C ．200
D ．100 【解析】本题考点是分组求和在求数列求和的具体运用. 根
据
题
意
有
，
故选D ． 【答案】D 3. 已知
则
.
【解析】本题考点是分组求和在求数列求和的具体运用.
=
16
(⨯
=20
-
)2
10
=
-
同理
=.
46
【答案】46
4.计算：
.
【答案】
892
5.设
，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得
的值为： .
【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用. 因为()f x =
2
21
+x
，所以()1f x -=
22
=
设， 则
所以： =6
2
即：
=3
2.
【答案】3
2
6.设f (x )＝4x
4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 014
2 015)则S ＝________.
【解析】 本题考点是倒序相加求和的具体运用 ∵f (x )＝4x
4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x
41－x ＋2＝2
2＋4x ，
∴f (x )＋f (1－x )＝4x
4x ＋2＋2
2＋4
x ＝1.
S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)， ① S ＝f (
2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (1
2 015
)， ② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014，
∴S ＝2 014
2＝1 007.
【答案】1007 7.
求数列
的前n 项和．
8.已知数列}{n a 满足递推式
，
其中.154=a
（1）求321,,a a a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S . 【解析】本题考查的是数列通项及数列求和的具体应用. （1）由
知
解得：,73=a 同理得
（2）由
知
{}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列；
；
为所求通项公式
（3）
【模拟考场】 1.
的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2.
.
【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用. ∵f (x )＝4x
4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x
41－x ＋2＝2
2＋4x ，
∴f (x )＋f (1－x )＝4x
4x ＋2＋2
2＋4
x ＝1.
两式相加可得
S，
2=10
S.
∴=5
【答案】5
3.求的和.
4.求和：
【解析】原式=
5.求和：.
【解析】解法一：令
=
1275
所以可得的和为1275.
解法二：令
则有
将两式相加得：
=
1275
所以可得的和为1275.
6.求和.
7.已知函数
（I）求
a=, ,求数列{}n a的通项公式; （II）已知数列{}n a满足12
(Ⅲ) 求证:.
【解析】(I)因为
所以设S= (1)
S= (2)
(1)+(2)得
:
=, 所以S=3012
(II)由两边同减去1,得
所以
,
所以,1 1
n
a
⎧⎫
⎨⎬
-
⎩⎭
是以
2
为公差以
1
1
1
1
a
=
-
为首项的等差数列,
所以
()III因为
所以
所以
>
.
8.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55, a2+a7＝16.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n＝＝
，求数列{b n}的前n项和S n
（2）令
两
式
相
减
得
于是
=
-4=
9.已知
n
S 是数列
{}
n a 的前n 项和，
，且
，其中*2,n n N ≥∈.
（1）求证数列{}1n a -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
（2）由①，
有221n n a -=+，于是有
212
n n -=+()
n N *∈.。