基于灰色模型的北京市水资源短缺分析和预测摘要本文并根据问题中提供的和自己找到的可靠数据以及灰色系统模型讨论了北京市水资源短缺情况，利用Matlab软件进行分析得到了影响北京市水资源短缺情况的主要因素，并进行了短期预测。
对于问题一，我们先扩充了数据容量，将2000年之后的数据归纳进来，然后计算出每个年份的缺水量，并刨除非缺水年份，通过计算灰色关联度得到影响北京市水资源短缺情况的主要因素为：总用水量、居民消费价格指数、平均气温和常住人口规模。
对于问题二，我们重点研究了缺水年份的缺水量，然后对北京市水资源短缺进行了风险评价，利用均值和标准差划分了风险等级。
对于问题三，我们分别对总用水量和水资源总量建立了灰色系统模型，并进行了预测，发现在短期内北京市还将缺水。
对此我们根据分析提出了自己的建议。
最后，我们对所建立的模型进行了合理的评价，提出了若干改进意见。
本文包含大量的图线和表格，清晰合理，较好地完成了题目要求。
关键词灰色关联度风险等级灰色模型1.问题重述水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。
主要包括陆地上的地表水和地下水。
近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。
以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。
政府采取了一系列措施积极解决水资源短缺问题, 如南水北调工程建设，建立污水处理厂，产业结构调整等。
但是，气候变化和经济社会的不断发展，水资源短缺始终存在。
北京各年的《统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的相关信息（网上可获得）。
利用这些资料和你自己可获得的其他资料，建立数学模型讨论以下问题：1、影响北京市水资源短缺的主要因素有哪些？2、对北京市水资源短缺的影响因素进行综合分析。
3、对北京市未来几年的水资源短缺进行预测，并提出应对措施。
附表（附录表格一）：1979年至2000年北京市水资源短缺的状况2.符号说明3.基本假设1．假设所提供的数据和自己查到的数据均有效；2．假设影响北京水资源短缺的多个因子相互独立；3．假设北京市的城市管理制度完善；4．假设北京市人口流动正常；5．假设北京市水利工程实施正常；6. 假设北京市在未来的两年中不会发生重大自然灾害，如洪水、地震等。
4.问题的分析和模型的建立求解4.1问题一的求解4.1.1问题分析为了寻找到影响北京水资源严重短缺的主要影响因素。
在收集整理好各类数据后，我们可以通过求解其关联度来进一步确定影响事物的本质因素，使各种影响因素之间的“灰色”关系量化，同时我们规定缺水量=总用水量-水资源总量。
观察数据如下：105.3 18.07 102.4 2.73 100.6 27.49 103.5 23.54 103.1 19.73 98.2 18.52 100.2 17.4 101 13.15 101.5 11.3 100.9 9.8 102.4 11 105.1 0.9 98.5 13.66观察表格中缺水量一列，发现由于有4年用水有盈余，数据呈负号，为了考察水资源短缺的影响，故在分析时不考虑1985、1987、1991和1997年的数据，考察剩下的27年的数据。
再由于数据没有明显的升降趋势，故用均值化的方法对数据做均值化处理，获得参考数列设为：001020{x ()}{,......}n t x x x =与参考数列作关联程度比较的p 个数列(比较数列)：{}11121212221212(),(),,()n n p p p pn x x x xx x x t x t x t x x x ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭………………………………式中．n 为数列的数据长度，即数据的个数。
另外将差值的绝对值记为：00()()()1,2,k k t x t x t t n ∆=-=……，对于第k 个比较数列，分别记n 个0()k t ∆中的最大数和最小数为0(max)k ∆和0(min)k ∆。
对于p 个比较数列，又记其中的最小者和最大者为min ∆和max ∆。
这样min ∆和max ∆分别是所有p 个比较数列在各期的绝对差值中的最小者和最大者。
算得：max ∆=2.7616，min ∆=0.0003357。
再根据min max00max()()k k t t ρζρ∆+∆=∆+∆来求出关联系数0()k t ζ，式中ρ为分辩系数，用来削弱上式中因max ∆过大而使关联系数失真的影响，人为引入这个系数是为了提高关联系数之问的差异显著性。
0<ρ<1。
我们取ρ为0.5，从而得到一个10×27的关联系数矩阵。
4.1.2问题求解由于每个比较数列与参考数列的关联程度是通过n 个关联系数来反映的，关联信息分散，不便于从整体上进行比较。
因此，有必要对关联信息作集中处理。
而求平均值便是一种信息集中的方式。
即用比较数列与参考数列各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个数列的关联程度．其计算公式为：0011()nk k i r t n ξ==∑上式中，0k r 为第k 个比较数列与参考数列的关联度。
由上述分析可见，关联度只是因素间关联性比较的量度，只能衡量因素问密切程度的相对大小，其数值的绝对大小常常意义不大，关键是反映各个比较数列与同一参考数列的关联度哪个大哪个小。
我们运用MATLAB 编程得到了参考数列与比较数列的关联度，通过比较可以得到影响北京市水资源短缺的主要影响因素。
（附录程序一）。
表2.各影响因子的灰色关联度：从表格中可以看出总用水量、居民消费指数、平均气温、常住人口的关联度依次排在前面，由于关联度越大，表明比较数列与参考数列的关系越大。
我们可以很清楚的知道：在影响北京水资源短缺的众多因素中，总用水量、居民消费指数、平均气温、常住人口是主要因素。
4.1.3模型验证对上述4个主要因素和缺水量对比作图如下（附录程序二）：050100150200250300350400总用水量缺水量图一由图一不难看出总用水量的缺水量的影响非常之大。
95100105110115120125130-1001020304050居民消费价格指数缺水量居民消费价格指数对缺水量的影响图二由图二发现缺水年份多集中在居民消费价格指数低于110时。
1111.51212.51313.514平均气温缺水量图三由图三可见气温越高缺水年份越多，这也符合常理。
80090010001100120013001400150016001700180005101520253035常住人口缺水量常住人口对缺水量的影响图四由图四发现常住人口的缓慢变化也会导致缺水量的急剧改变。
4.2问题二的求解4.2.1风险率我们定义水资源系统的工作风险率χ为水资源系统不能正常工作的时间与整个工作历时之比，也即：=缺水总年数风险率总年数从表1我们容易看出风险率270.871031χ==4.2.2脆弱性脆弱性是描述水资源系统失事损失平均严重程度的重要指标。
为了定量表示系统的脆弱性，我们假定不同缺水量的缺水事件是同频率的，这样脆弱性δ可以表示为：=缺水量总和脆弱性总年数上式说明缺水年份的期望缺水量可以用来表示供水系统的脆弱性。
为了消除因每一年需水量不同而产生的影响，一般采用相对值，即：=缺水量总和脆弱性缺水年份的需水量总和利用表1中的数据易得370.5==0.33541104.5δ。
4.2.3可恢复性可恢复性ϖ是描述系统从事故状态返回到正常状态的可能性。
系统的恢复性高，表明该系统能更快地从事故状态转变为正常运行状态。
它可以由如下的条件概率来定义：=足水总年数可恢复性缺水总年数利用表1中数据易得4==0.148127ϖ，一般来讲，0<ϖ<1，这表明水资源系统有时会处于失事状态，但此时有恢复正常状态的可能，而且失事的历时越长，恢复性越小，也就是说水资源系统在经历了一个较长时期的失事之后，转为正常状态是比较困难的。
4.2.4重现期事故周期是两次进入失事模式F之间的时间间隔，也叫平均重现期。
那么对于水资源短缺而言，平均重现期ξ为：=-足水总年数重现期缺水总年数1利用表1中的数据易得4==0.153826ξ。
4.2.5风险等级为了对影响北京市水资源短缺的因素进行综合分析，我们用均值+n *标准差（n =1，2，3），做出风险等级划分，并对北京市水资源短缺风险进行综合评价。
缺水年份的缺水量的均值；27127nn af ==∑缺水年份的缺水量的标准差：d =通过计算得f =13.722222，d =8.516871, 我们假设：均值+标准差—风险较大，均值+2*标准差—风险很大，均值+3*标准差—风险非常大，再往上为风险极大。
如此划分危险等级，所以根据所得数据可以将风险级别划分为（附录程序三）： 表综合评价：由以上五个指标可以看出，北京市缺水的风险较高，供水系统无法完全满足需求，足水年份出现较少。
4.3问题三的求解 4.3.1问题分析通过对1979-2009年北京市水资源总量和总用水量两组数据的分析，利用灰色系统理论，建立GM （1,1）一阶线性微分方程模型，再进行预测和检验。
设原始数据列为((1),(2),,())X x x x n =……，其中n 为数据个数，将原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性，从而得到新的数据序列，记为((1),(2),,())Y y y y n =……，其中1()(),1,2,,tk y t x t t n ===∑……对()y t 建立()y t 的一阶线性微分方程：dYaY u dt+=其中，,a u 为待定系数，分别称为发展系数和灰色作用量，记,a u 构成的矩阵为a a u ⎛⎫= ⎪⎝⎭，只要求出参数,a u 就能求出()y t ,进而求出()x t 的预测值。
4.3.2问题求解对累加生成的数据做均值生成B 与常数项向量n Y ：0.5((1)(2))0.5((2)(3)),((2),(3),())::0.5((1)())T n y y y y B Y x x x n y n y n +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦……,然后用最小二乘法求解灰参数a ，则1()T T n a a B B B Y u -⎛⎫== ⎪⎝⎭，将其带入（3）式求解得：(1)((1))at u uy t x e a a-+=-+，其中(1)y t +为近似值，与原序列(1)y t +不同。
对(1)y t +及()y t 进行离散，并将二者做差以便还原X 原序列，得到近似数据序列(1)(1)()x t y t y t +=+-。
通过matlab 编程（附录程序四）计算得表4：au水资源总量 0.0150 36.2316 总用水量0.008645.97754.3.3模型验证与预测计算X 与()x t 之间的残差()()e t X x t =-，并计算方差得表5：X 的方差1s ()e t 的方差2s方差比21s C s =水资源总量 88.0577 70.6013 0.8018 总用水量 27.633018.36930.6648197519801985199019952000200520102015101520253035404550年份亿立方米水资源总量图五197519801985199019952000200520102015303540455055总用水量年份亿立方米图六对方差比和图形的分析可知模型拟合较好，可以进行预测。