用解直角三角形解方位角的应用
一、新课导入
1.课题导入
情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯
塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有
多远？
问题：怎样由方位角确定三角形的内角？
2.学习目标
能根据方位角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.
3.学习重、难点
重点：会用解直角三角形的知识解决方位角的相关问题.
难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材例题.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程.
（4）自学参考提纲：
①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈
0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
a.根据已知在图中标出方位角：如图所示.
b.根据方位角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A= 65°，∠B= 34°，PA= 80 .
c.作高构造直角三角形：如图所示.
d.写出解答过程：
在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）.
在Rt△BPC中，∠B=34°,PB=
72505
sin sin34
.
PC
B
=
︒
≈130（n mile）.
②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，又继续航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
解：过A作AE⊥BD于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°.
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.
∴AE=AD·sin60°=12×3
=63(海里)＞8海里.
∴无触礁的危险.
2.自学：
结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.
②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组内互相交流、研讨.
4.强化：利用解直角三角形的知识解方位角问题的一般思路.
1.自学指导
（1）自学
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本的内容归纳，进行反思总结.
（4）自学参考提纲：
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：
a.将实际问题抽象为数学问题；
b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
c.得到数学问题的答案；
d.得到实际问题的答案.
2.自学：
学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生解答问题的情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内互相交流、研讨.
4.强化
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：
三、评价
1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？
2.对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.的自我评价（教学反思）.
本课时应先认知“方位角”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.
一、基础巩固
1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）
A.南偏东50°
B.南偏东40°
C.北偏东50°
D.北偏东40°
2.（10分）在菱形ABCD中，AB=13，锐角B的正弦值sinB=
5
13
，则这个菱形的
面积为65 .
3.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.
解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,
AB=25×4=100.
在Rt△ABC中，BC=1
2
AB=50，AC=
3
AB=503.
在Rt△ACP中，CP=AC=503. ∴BP=BC+CP=50(3+1)(n mile).
二、综合应用
4.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）.
解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,
∴DE=BE·tan30°=5
3
3
,BD=
10
3
cos303
BE
=
︒
≈5.77(m).
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00,∠FCA=4
5°,
∴AF=CF=5.00,∴AC=2CF=52≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=5
3
3
+3.40-5.00≈1.29(m).
三、拓展延伸
5.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这一海域?
解：如图，∠PAB=30°,AP=32.∴PB=1
2
AP=16(n mile).
∴PB＜162n mile.∴轮船有触礁危险.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
又∵AP=32，PC=162,∴∠PAC=45°,∴α=15°.
∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.
--------------------- 赠予---------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
--------------------- 谢谢喜欢--------------------。