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题型4 应用举例
1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就 能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树 的高（如图1），她测得CB=10米， ∠ACB=50°，请你帮助她算出树高AB约为 12 ________米．（注：①树垂直于地面；②供选 用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.2）
1.如图4，在矩形ABCD中DE⊥AC于E， 设 3 ∠ADE=a， 且cosα = 5 ， AB=4，则AD的长为（ B ）
A．3
16 B． 3 20 C. 3 16 D. 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标 如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正方形．• 大正方形 若 的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b， 则a+b的值为（ B ） A．35 B．43 C．89 D．97
2
3 CF=CD· cos30°= ×400=200 （米）． 在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设DE=x米， ∴AE=tan60°· 3 x（米）． x= 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在Rt△ACB中，∠ACB=45°， ∴AB=BC， 即 3 x+200=200 3 +x．
∴x=200， ∴AB=AE+BE=（200 3 +200）米．
，
PC 3 3 3 3 , PC = ， 即 3 PC 2 3
PC>3． ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
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3.如图，某校九年级3班的一个学生小组进行测 量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测 得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD• 长度 的 为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°．请你帮 助他们计算出小山的高度BC（计算过程和结果 都不取近似值）．
4．解：设AB=x米，BD=y米． 由△CDE∽△ABE得
CD DE 1.7 3 ,即 AB BE x 3 y ．
① 由△FGH∽△ABH得
FG GH 1.7 5 ,即 AB BE x 10 y ．
② 由①，②得y=7.5，x=5.95≈6.0米． 所以路灯杆AB的高度约为6.0米．
3
3
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解得x=90 3 +90．
4.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角 为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高 AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求 小山BD的高（精确到0.1m， 3 ≈1.732）．
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题型3 解斜三角形 1.如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8，• △ABC的面积（结果可 求 保留根号）． 2.如图，海上有一灯塔P，在它周围3 海里处有暗礁，• 艘客轮以9海里/时 一 的速度由西向东航行，行至A点处测 得P在它的北偏东60°的方向，继续 行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔 P在它的北偏东45°方向，问客轮不 改变方向继续前进有无触礁的危险？
CD 2 3 1.5 sin 60 3 2
CE
=（4+
3 ）（米）．
答：拉线CE的长为（4+ 3 ）米．
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8．已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰 角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到 D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的 仰角为60°，求山的高度AB．
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7.如图，在电线杆上的C处引位线CE、CF固定 电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆C处的仰 角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）
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2 5 12 12 A. , B. , C. , D. 12 13 5 13
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4. 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB =90°， 5 ， CD⊥AB于点D，已知AC=
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
5 A． 3 2 B. 3 2 5 C. 5 5 D. 2
（精确到0.1m）．
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5．解：在Rt△ADE中，DE=3 2 ， ∠DAE=45°， DE ∴sin∠DAE= AD ，
∴AD=6． 又∵AD=AB， BC 在Rt△ABC中，sin∠BAC= AB ，
∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
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6.如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固 定，CD• 地面成40°夹角，且DB=5m，现要在 与 C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的 高为多少米？（• 果保留三个有效数字） 结 6．解：在Rt△BCD中， ∠BDC=40°，DB=5m，BC ∵tan∠BDC= DB ， ∴BC=DB· tan∠BDC =5×tan40°≈4.195． ∴EB=BC+CE=4.195+2≈6.20． 答：略．
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5.如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯 子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点； 当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC=•5°，∠DAE=45°，点D到 6 地面的垂直距离DE=3 m，求点B到地面的垂直距离BC 2
b
b
Ｃ
2、30°，45°，60°的三角函数值 30° sina cosa tana 45°
2 2
2 2
1
60°
1 2
3 2
3 3
3 2
300
450
450 ┌ 600
1 2
┌
3
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概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
2. 已知∠A，a.解直角三角形
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
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【热点试题归类】
题型1 三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4， 3 则sinA的值为_______． 5 2. 在Rt△ABC中，∠C =90°，BC=4，AC=3， 3 则cosA的值为______． 5 3. 如图1，在△ABC中，∠C =90°，BC=5， AC=12，则cosA等于（ D ）
4．解：如图，过C点作CE⊥AD于C．
设BC=x，则EC=BC=x． 在Rt△ACE中，AC= 3 x，
∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
CD AB
5. 如图3所示，AB是⊙O的直
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
．
等于（ D ）
B．cot∠AED D．cos∠AED
6．计算： |- 2 |+（cos60°-tan30°）+ 8
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3 2 1
题型2 解直角三角形
9.如图，在一个坡角为15°的斜 坡上有一棵树，高为AB．当太 阳光与水平线成50°时，测得该 树在斜坡的树影BC的长为7m， 求树高．（精确到0.1m）
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8．解：如图，作DE⊥AB于E，作DF⊥BC 于F，在Rt△CDF中∠DCF=30°，CD=400米， 1 ∴DF=CD· sin30°= ×400=200（米）．
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解：过C作CD⊥AB于D， ， AD 设CD=x．在Rt△ACD中，cot60°=
∴AD= 3 3
x．
CD
在Rt△BCD中，BD=CD=x．
3 x+x=8． 3
∴
解得x=4（3- 3 ）． 1 1 CD= ×8×4（3∴S△ABC= AB· 2 2
3 ）
=16（3-
3）=48-16 3 ．
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2．解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知：
2 AB=9× =3，∠PAB=90°-60°=30°， 6 ∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°． ∴PC=BC． 在Rt△APC中，
PC PC PC tan30°= AC AB BC 3 PC
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3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （x-90）． 3 3 FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （x-90）=x-90 ．