中等职业教育(中专)数学教案(高等教育出版社版)
第 2 次课学时 2
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第14 次课学时 2
第15 次课学时 2
第16 次课学时 2
教学重点、难点：
重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 难点：作余弦函数的图象；
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配
一、引入新课
1.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）
P 与原点的距离r(02
222>+=+=y x y x r ) 则比值r y 叫做α的正弦 记作： r
y =αsin
比值r x 叫做α的余弦 记作： r
x =αcos
2.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r
y ==αsin ，OM r x ==αcos
向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做 角α的余弦线． 二、讲授新课 1．函数y=sinx 的图象 第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x
轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）。

第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2
π,…，2π的正弦线，正弦线（等价
于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）。

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象。

把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则
正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象。

（10分钟）
（25分钟）
r y)(x,α
P
2．余弦函数y=cosx 的图象 探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？ 根据诱导公式cos sin()2
x x π=+,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即
得余弦函数y=cosx 的图象。

正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2
π
,1) (π,0) (23π,-1)
(2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (2
π
,0) (π,-1)
(23π
,0) (2π,1) 说明：只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握，可参照教材217页和教材222页。

比较：优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 4.典型例题 例1．（教材218页示范例1） 讲解：略 例1．（教材22页示范例1） 讲解：略 小结：通过正弦、余弦函数图象，在图象上可以直观的比较两个数值的大小。

这种方法是三角函数数值比较常见的方法。

三、课堂小结
正弦函数图象的作法，余弦函数图象的作法，“五点法”做函数图象。

（15分钟）
（20分钟）
（15分钟）
（5分钟） y=cosx
y=sinx
π2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11
y
x -1
1
o x
y
第17 次课学时 2
时间分配
一、引入新课
观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量x 2π- 32π- π- 2π- 0 2π π 32π 2π 函数值
sin x
0 1 0 1- 0 1 0 1-
二、讲授新课
1．正、余弦函数的性质
正弦函数()sin f x x =性质如下： （观察图象） 1︒ 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的
2︒ 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现）
3︒ 这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明。

结论：像这样一种函数叫做周期函数
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==； 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

2．周期性
周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每
一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函
数的周期。

问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636
πππ
+=，能否说
23π是它的周期？
（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？ 说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义
域无下界；
2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3. 奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
（1）正弦函数的图形
观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
（10分钟）
（15分钟）
（15分钟）
（15分钟）
– –
π 2π 2π- 2π 5π π- 2π- 5π- O x y 1 1-
第18 次课学时 2
第19 次课学时 2
22=32=()
cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于45cos30-呢？
根据我们在之前所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的
()cos ?αβ-= 75、cos15的值。

把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()
cos15cos 6045=-，要学会灵活运用。

例2、（教材243页例题2） 讲解：略
点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题。

第20 次课学时 2。