闭合电路中的功率及效率问题
1．电源的总功率
(1)任意电路：P总＝EI＝U外I＋U内I＝P出＋P内．(2)纯电阻电路：P总＝I2(R＋r)＝
E2 R＋r
.
2．电源内部消耗的功率：P内＝I2r＝U内I＝P总－P出．3．电源的输出功率
(1)任意电路：P出＝UI＝EI－I2r＝P总－P内．
(2)纯电阻电路：P出＝I2R＝
E2R
(R＋r)2
＝E2
(R－r)2
R
＋4r
.
(3)纯电阻电路中输出功率随R的变化关系
①当R＝r时，电源的输出功率最大为P m＝E2 4r.
②当R>r时，随着R的增大输出功率越来越小．
③当R<r时，随着R的增大输出功率越来越大．
④当P出<P m时，每个输出功率对应两个外电阻R1和R2，且R1R2＝r2.
⑤P出与R的关系如图4所示．
4．电源的效率
(1)任意电路：η＝P出
P总
×100%＝
U
E×100%. (2)纯电阻电路：η＝
R
R＋r
×100%＝
1
1＋
r
R
×100%
因此在纯电阻电路中R越大，η越大；当R＝r时，电源有最大输出功率，效率仅为50%.
特别提醒当电源的输出功率最大时，效率并不是最大，只有50%；当R→∞时，η→100%，但此时P出→0，无实际意义．“等效电源法”的应用
例1如图5所示，已知电源电动势E＝5 V，内阻r＝2 Ω，定值电阻R1＝0.5 Ω，滑动变阻器R2的阻值范围为0～10 Ω.求：
图5
(1)当滑动变阻器R2的阻值为多大时，电阻R1消耗的功率最大？最大功率是多少？
(2)当滑动变阻器的阻值为多大时，滑动变阻器消耗的功率最大？最大功率是多少？
(3)当滑动变阻器的阻值为多大时，电源的输出功率最大？最大功率是多少？
解析(1)定值电阻R1消耗的电功率为P1＝I2R1＝
E2R1
(R1＋R2＋r)2
，可见当滑动变阻器的阻值R2＝0时，R1消耗的功率最大，
最大功率为P1m＝E2R1
(R1＋r)2
＝2 W.
(2)将定值电阻R1看做电源内阻的一部分，则电源的等效内阻r′＝R1＋r＝2.5 Ω，故当滑动变阻器的阻值R2＝r′＝2.5 Ω
时，滑动变阻器消耗的功率最大，最大功率为P2m＝E2
4r′
＝2.5 W.
(3)由电源的输出功率与外电阻的关系可知，当R1＋R2＝r，即R2＝r－R1＝(2－0.5) Ω＝1.5 Ω时，电源有最大输出功率，
最大功率为P出m＝E2
4r
＝3.125 W.
答案(1)R2＝0时，R1消耗的功率最大，为2 W
(2)R2＝2.5 Ω时，滑动变阻器消耗的功率最大，为2.5 W
(3)R2＝1.5 Ω时，电源的输出功率最大，为3.125 W
反思总结对于电源输出的最大功率问题，可以采用数学中求极值的方法，也可以采用电源的输出功率随外电阻的变化规律来求解．但应当注意的是，当待求的最大功率对应的电阻值不能等于等效电源的内阻时，此时的条件是当电阻值最接近等效电源的内阻时，电源的输出功率最大．
图7－2－14
即学即练1如图7－2－14所示，电动势为E、内阻为r的电池与定值电阻R0、滑动变阻器R串联，已知R0＝r，滑动变阻器的最大阻值是2r.当滑动变阻器的滑片P由a端向b端滑动时，下列说法中正确的是()．
A．电路中的电流变大B．电源的输出功率先变大后变小
C．滑动变阻器消耗的功率变小D．定值电阻R0上消耗的功率先变大后变小
解析当滑动变阻器的滑片P由a端向b端滑动时，外电路电阻减小，电路中的电流变大，电源的输出功率变大，选项A正确、B错误；把定值电阻R0看成电源内阻，当滑动变阻器的滑片P由a端向b端滑动时，滑动变阻器消耗的功率变小，定值电阻R0上消耗的功率变大，选项C正确、D错误．
答案AC
对闭合电路功率的两点新认识
(1)闭合电路是一个能量转化系统，电源将其他形式的能转化为电能．内、外电路将电能转化为其他形式的能，EI＝P内
＋P外就是能量守恒定律在闭合电路中的体现．
(2)外电阻的阻值向接近内阻的阻值方向变化时，电源的输出功率变大．
突破训练2如图6所示电路中，R为一滑动变阻器，P为滑片，若将滑片向下滑动，则在滑动过程中，下列判断错误的是
()
图6
A．电源内电路消耗功率一定逐渐增大B．灯泡L2一定逐渐变暗
C．电源效率一定逐渐减小D．R上消耗功率一定逐渐变小
答案 D
解析滑动变阻器滑片P向下滑动，R↓→R并↓→R外↓，由闭合电路欧姆定律I＝
E
r＋R外
推得I↑，由电源内电路消耗
功率P 内＝I 2r 可得P 内↑，A 正确．U 外↓＝E －I ↑r ，U 1↑＝(I ↑－I L1↓)R 1，U L2↓＝U 外↓－U 1↑，P L2↓＝U 2L2↓
R L2
，故灯泡L 2变暗，B 正确．电源效率η↓＝
I 2R 外I 2(R 外＋r )
＝
R 外
R 外＋r ＝11＋r
R 外↓
，故C 正确．R 上消耗的功率P R ＝U 2L2↓
R ↓，P R 增大
还是减小不确定，故D 错． 【跟踪短训】
图7－2－7
3．如图7－2－7所示电路， 电源电动势为E ，串联的固定电阻为R 2，滑动变阻器的总电阻为R 1，电阻大小关系为R 1＝R 2＝r ，则在滑动触头从a 端移动到b 端的过程中，下列描述中正确的是( )． A ．电路中的总电流先减小后增大 B ．电路的路端电压先增大后减小
C ．电源的输出功率先增大后减小
D ．滑动变阻器R 1上消耗的功率先减小后增大
解析 在滑动触头从a 端移动到b 端的过程中，R 1接入电路的电阻(实际上是R aP 与R bP 的并联电阻)先增大后减小，所以电路中的总电流先减小后增大，电路的路端电压先增大后减小，A 、B 正确；题中R 外总大于电源内阻，外电路电阻R 外越接近电源内阻，电源输出功率越大，滑动触头从a 端移动到b 端的过程中，R 1接入电路的电阻先增大后减小，电源的输出功率先减小后增大，C 错误；将R 2＋r 视为电源内阻，在滑动触头从a 端移动到b 端的过程中，外电阻R 1接入电路的电阻先增大后减小，滑动变阻器R 1上消耗的功率先增大后减小，D 错误． 答案 AB
图7－2－8
4．如图7－2－8所示，闭合开关S 后，A 灯与B 灯均发光，当滑动变阻器的滑片P 向左滑动时，以下说法中正确的是( )． A ．A 灯变亮 B ．B 灯变亮
C ．电源的输出功率可能减小
D ．电源的总功率增大
解析 滑动变阻器的滑片P 向左滑动，R 的阻值增大，外电路的总电阻增大，由闭合电路欧姆定律知，干路的电流I ＝
E R 外＋r 减小，则B 灯变暗，路端电压U ＝E －Ir 增大，灯泡A 两端的电压U A ＝U －U B 增大，A 灯变亮，则A 选项正确，B 选项错误；
电源的输出功率P 外＝E
2R 外＋2r ＋
r 2
R 外
可能减小，电源的总功率P ＝EI 减小，则C 选项正确、D 选项错误．
答案 AC
►题组2 电路中的功率与效率
4．在如图3所示的电路中，电源内阻不能忽略，当滑动变阻器的滑片移动时，电流表示数变大，则 ( )
图3
A ．电源的总功率一定增大
B ．电源的输出功率一定增大
C ．电源内部消耗的功率一定减小
D ．电源的效率一定减小 答案
AD
解析 本题考查闭合电路的动态分析，意在考查学生对闭合电路欧姆定律的理解以及对闭合电路动态分析的能力．滑片移动时，电流表示数变大，可知滑片向右移动，电路的总电阻减小，总电流增大，因此电源的总功率增大，电源的效率减小，A 、D 正确；电源内部消耗的功率增大，电源输出功率的变化情况不确定，B 、C 错误．
5．在纯电阻电路中，当用一个固定的电源(E 、r 是定值)向变化的外电阻供电时，关于电源的输出功率P 随外电阻R 变化的规
律如图4所示，则
( )
图4
A ．当R ＝r 时，电源有最大的输出功率
B ．当R ＝r 时，电源的效率η＝50%
C ．电源的功率P ′随外电阻R 的增大而增大
D ．电源的效率η随外电阻R 的增大而增大 答案 ABD
解析 由题图可知，R ＝r 时电源有最大输出功率E 24r ，A 正确；电源的功率P ′＝E 2
r ＋R ，随外电阻R 的增大而减小，C 错
误；由η＝IU IE ＝R R ＋r ＝1
1＋
r
R
可知B 、D 正确．。