h12 h2
x l
(h12
h22 )
W lx K
W K
x2
讨论：
h2
h12
(h12
h22
)
x l
W (l K
x)x
1.当W>0时，水头线是椭圆曲线的上半支
当W<0时，水头线是双曲线方程
当W=0时，水头线是抛物线方程
此式为承压含水层地下水一维稳定流的水头线方程。可见，此
时水头线是一条直线，且水头H的分布与渗透系数K无关
在均匀一维流动情况下，由于水力梯度为常数，取决于水头差
及沿程途径。在介质均匀、渗流断面均部发生改变的情况下，
水力梯度为常数，故水头分布与K无关
1
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二、承压水向河渠一维稳定运动— 数学模型与求解（1）
H1
H
当 <20o，渗流长度
H2
可以用以水平孔距L来
近似表示，水力坡
h1
h2
度
dH 。
dx
即引入裘布依假设。
z1
0
z
X l
z2
X 0
图3-1-4 隔水底板倾斜的二维潜水流动
流量方程和水头线方程推导
根据裘布依假定
运用积分中值定理近似求解
q Kh dH dx
q 1 dx dH Kh
l q 1 dx 0K h
2.数学模型
d2H 0
(1)
dx2
H |x 0 H 1 (2)
H |x L H 2 (3)
3.求解:解法一
单宽流量公式为
H
H1
H1 H2 x l
Q KA dH
KMB dH
dx
dx
qQ B
KM dH (单宽流量 ) dx
H
H1
H1 H2 x l
dH dx
H1 H2 l
q KM H 1 H 2 l
Q KMB H 1 H 2 l
二、承压水向河渠一维稳定运动 ---数学模型与求解（2）
求解过程-分离变量法 q
KM dH dx
q dx dH KM
从x＝0（断面1，H＝H1）积分至x=l(断面2，H＝H2）
l q dx 0 KM
H 2 dH
H1
由于 q const
ql KM q KM
H1 H2
H1 H2 l
二、承压水向河渠一维稳定运动 ---数学模型与求解（2）
h2
X 0 L
图3-1-2 隔水底板水平的二维潜水运动
三、无入渗潜水向河渠二维稳定运动 ------(一)隔水底板水平
q Kh dh dx
q dx hdh K
由于无垂向补排，故q沿0～l不变，积分从断面1 至断面2
l q dx 0K
h2 hdh
h1
q K h1 h2 h1 h2 2l
ql K
1 2
h12
（一）流量方程推导
q q1 Wx
分离变量积分
引入裘布依假定
q Kh dh dx
Kh dh dx
q1 Wx
单宽流量方程：
断面1 断面2
任意断面处
q
q1
K h12 h22 2l
Wl 2
q2
K h12 h22 2l
Wl 2
K h12 h22 Wl Wx 2l 2
流量方程的讨论
(据河1断面流量q1方程)
q1
x W xdx 0K
1 2
(h12
h2)
q1 x K
W x2 K2
当x=l时，h=h2
1 2
(h12
h22)
q1 l W l2 K K2
单宽流量方程：q1
K h12 h22 2l
Wl 2
断面1
q2
K h12 h22 2l
Wl 2
任意断面处 q K h12 h22 Wl Wx
2l 2
断面2
4
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(3)只 直有 面离 才河 视边 为界 等和 水分 头水 面岭 。边界，水平距离l>1.5~2.0M的垂
（二）水头线（浸润曲线）方程
由断面1至断面x积分得：
q1
K h12 h22 2l
Wl 2
1 2
h12
h2
q1 x W x2 K K2
1 2
h12
h2
(K h12 h22 Wl ) x W x2 2l 2 K K 2
两者缺一不可。
3.
稳定流与非稳定流计算公式不同，对地下水资源评
价意义重大。
• 本章要求：
Ø 深入理解裘布依假定的实质； Ø 掌握运用达西定律和水流连续性原理推导流量方程和水
头线方程的基本方法。
Ø 掌握以下条件的流网特征、流量方程和水头线方程，并 能灵活运用些解析公式解决实际计算问题：
n 承压水向河渠的一维稳定运动， n 无入渗隔水底板水平时潜水向河渠的二维稳定运动， n 均匀稳定入渗条件下潜水向河渠二维稳定运动。
Ø均质、等厚、承压含水层，两条平 行河流完整切割含水层。
Ø两河水位分别为H1，H2，当两河水位 稳定时，地下水可形成稳定流动， 地下水可形成稳定流动。
图3-1-1
H H1
H2
Ø这时，流网显示地下水流线是一条 平行的直线。
d2H 0
(1)
dx2
H |x 0 H 1 (2)
H |x L H 2 (3)
M x
Q KA dH
H1
dx
A
Bh
B
B1
B1 B2 x l
h1
H2
h
底板水平，含z 0,故 dH dh
h2
dx dx
Q
K B1
B1 B2 x h dh
l
dx
L
图 3-1-5 平 面 流 线 辐 射 状 的 潜 水 流
3
四、无入渗潜水向河渠三维稳定运动 （一）平面流线辐射状
Q
K B1
B1 B 2 x h dh
q q1 Wx
W
Wx q1 q
河1
q q1 Wx
q q1
可知无论x在何处，均可
河2
q q2
x
得相同均衡式
a
x
q q1 Wx
图3-1-8 河间地段潜水流动剖面图
（一）流量方程推导
q q1 Wx
分离变量，由断
引入裘布依假定
q Kh dh
Kh dh dx
dx
q1 Wx
面1至断面x积分
h hdh
h1
x q1 dx 0K
h22
q KM H 1 H 2 l
单宽流量
q K h12 h22 2l
对比两式，若令z=0,即取基准 面与底板一致
2
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水头线方程
改变积分限（0～x)
q Kh dh ,q dx hdh dx K
x q dx 0K
h hdh
h1
q K h1 h2 h1 h2 2l
qx K
1 2
h12
h2
Ø 掌握处理层状非均质问题的分段法和等效厚度法。 • 重难点：
Ø 掌握无入渗潜水含水层中隔水底板水平时地下水向河渠 二维稳定运动；
Ø 均匀稳定入渗的潜水向河渠二维稳定运动； Ø 灵活运用分段法和等效厚度法求解非均质问题。
二、承压水向河渠一维稳定运动--物理模型
1、物理模型（水文地质模型描述） 条件：
2
l
2x
(h1 h2 )(H 1 H 2 ) [h1 (H z)](H 1 H )
l
x
z
z1
(z1 z2 ) x l
四、无入渗潜水向河渠三维稳定运动 （一）平面流线辐射状
底板水平时，渗流宽度沿流向呈 线性变化，水流在x、y、z三个方 向都有分流速，根据裘布依假设， 忽略垂向分速度，则可将水流简 化为平面二维流。
h12 h22 2
Q K
l B1 B2
ln B1 ln B2
流量公式 Q
水头线方程
K h12 h22 B1 2l InB1
h2 h12 (h12
B2 InB2
KB m
h12 h22 2l
h22
)
InB1 InB1
InB InB2
四、无入渗潜水向河渠三维稳定运动 ------（二）渗流断面复杂变化
潜水含水层隔水底板
K h12 h22 2l
Wl 2
河1
q q1
W
q
a
x
河2
q2
x
1.
W当 0,q1
K h12 h22 , 2l
图3-1-8 河间地段潜水流动剖面图
该式为无入渗补给潜水剖面二维稳定流动，此时河间地段呈单
h1向流h动2时。 ， q1 0,水由河 1向河 2流动
h1 h2时， q1 0,水由河 2向河 1流动
h
h12
(h12
h22
)x l
此水头线的特点: 1. 它是以x轴为对称轴的抛物线
(上半支的一部分); 2. 它与渗透系数K值的大小无关。
水头线方程 (解法二)
数学模型
ddx(hddhx) 0 h|x 0 h1 h|x l h2
对（1）式两次不定积分，代入已知条件得：
h2 2
Hale Waihona Puke C1x C 2,C2
h12 2
l
dx
h2 hdh
h1
lQ 0K
B1
1 B1
B2 x dx
l
h12 h22 Q 2K
l B1 B2
d
l
B1
0 B1
B1 B2 x l