2010-2011学年数理统计期中题训练1、设总体X的密度函数为101;()0x p x ≤≤=⎪⎩ 其它,， 其中0θ>，θ为未知参数。

（1）参数θ的矩法估计量； （2）参数θ的极大似然估计量.解：（1）因为110EX x dx ==⎰21EX EX θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以参数θ的矩法估计为2ˆ1x x θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

（2）1）似然函数()()()121211;,,;nnn n i i i i L L x x x p x x θθθθ==⎛===⋅ ⎪⎝⎭∏∏2）对数似然函数())1ln ln 1ln 2n i i nL x θθ=⎛⎫=+⎪⎝⎭∑3）对()ln L θ关于θ求导令其为0，即： ()ln ln 02ni x d L n d θθθ==∑ 解方程得参数θ的极大似然估计为21ˆln ni i n x θ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 2、假设人体身高服从正态分布, 今抽测甲、乙两地区18岁 ~ 25岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取10名,样本均值1.64米, 样本标准差0.2米; 乙地区抽取10名, 样本均值1.62米, 样本标准差0.4米. 求两正态总体方差比的95%的置信区间。

解：设甲地区人体身高211(,)X N μσ ，设乙地区人体身高222(,)Y N μσ （记住：如果题目没有，则一定要设正态总体）（1）取枢轴量为()22211222~1,1(9,9)s F F m n F s σσ=--=（2）依题意可得，2122σσ的1α-的置信区间为()()2211222212211,1,11,1s s s F m n s F m n αα-⎡⎤⎢⎥⋅⋅⎢⎥----⎣⎦（3）取显著水平为0.05α=，经查表得，()0.9759,9 4.03F =，()0.02519,90.254.03F ==，代入数据得，2122σσ的95%置信区间为[]0.062,1.0075。

3、假设钢件的屈服点服从正态分布，今抽测20个钢件的屈服点，样本均值为5.21，样本方差为22203.0，求屈服点总体标准差的95%的置信区间。

解：设屈服点2(,)X N μσ（1）取枢轴量为()()22221~1n s n χχσ-=- （2）依题意可得，2σ的1α-置信区间为()()()()222212211,11n s n s n n ααχχ-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（3）取显著水平为0.05α=，经查表得，()()220.0250.975198.9065,1932.8523χχ==，代入数据得，2σ的95%置信区间为[]0.0281,0.1048。

从而σ的95%的置信区间为：[0.1675,0.3218]=4、已知钢筋强度X 服从正态分布，且52EX =，后改变炼钢配方，利用新方法炼了7炉钢，经计算得样本均值253.14,7.29X S ==，试问钢筋强度的均值是否有明显改变？ 解: 设钢筋强度2(,)X N μσ（1）提出假设0:52H μ= vs 1:52H μ≠（2）取统计量为)52x T s-=，当52μ=时，()~1T t n -（3）依题意可得，拒绝域为(){}121W T t n α-=≥-（4）取显著水平为0.05α=，经查表得 ()0.9756 2.4469t =，由于(][)53.1452 1.117,2.4469 2.4469,T -==∉-∞⋃+∞故不能拒绝原假设，即接受原假设假设，钢筋强度没有明显改变。

5、食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检验机器的工作情况，现抽得10罐，测得其重量（单位：克）：495，510，505，498，503，492，502，512，497，506，假定重量X ～),(2σμN ，试问机器工作是否正常（α＝0.1）。

解：（1）提出假设0:500H μ= vs 1:500H μ≠（2）取统计量为)500x T s-=，当0:500H μ=成立时，()~1T t n -（3）依题意可得，拒绝域为(){}121W T t n α-=≥-（4）取显著水平为0.1α=，经查表得，()0.959 1.8331t =，经计算得，502x =，226.4979s ==，)5025000.9733 1.83316.4979t -==<，故不能拒绝原假设，即接收原假设，机器是正常工作的。

6、某建筑工地每天发生事故数现场记录如下：试在显著水平0.05α=下检验这些数据是否服从泊松分布。

解：（1）提出假设0H ：某建筑工地每天发生在事故数()X P λ（2）λ的极大似然估计为ˆ0.74X λ==，!iip e i λλ-=，0,1,2,3,4,5i =， 66!ii p e i λλ∞-==∑从而0.740.74ˆ!i i p e i -=，0,1,2,3,4,5i =， 0.74660.74ˆ!i i p ei ∞-==∑ 取统计量为()221ˆˆki i i i f np npχ=-=∑，当0H 成立时，()22~1k r χχ--（3）依题意可得，拒绝域为(){}2211W k r αχχ-=≥--（4）代数据：由于存在ˆ5i np<，故合并后面四个分组，算得2 3.0982χ=，取0.05α=，经查表得，()20.95411 5.9915χ--=3.0982>，故不能拒绝原假设，即接受原假设，题中数据服从泊松分布。

7、对1000位高中生做性别与色盲的调查，获得如右2维列联表： 试在显著水平0.05α=下考察色盲与性别之间是否独立。

解：（1）提出假设0:ij i j H p p p ⋅⋅=，1,2i =，1,2j = （2）取统计量()2211ˆˆr cij ij i i ij n npnpχ==-=∑∑，当0H 成立时，()22~(1)(1)r c χχ--，其中ˆˆˆji ij i j n n pp p n n⋅⋅== （3）依题意可得，拒绝域为(){}221(1)(1)W r c αχχ-=≥--（4）代数据：在原假设成立下，计算诸参数的极大似然估计值：1600ˆ0.61000p⋅==， 2400ˆ0.41000p⋅==， 1917ˆ0.9171000p⋅==，283ˆ0.0831000p ⋅==进而可给出诸ˆˆˆij i j npnp p ⋅⋅=，见下表综合两表可以计算统计量的值()()()()22222535550.26549.8382366.81833.212.6482550.249.8366.833.2χ----=+++=取0.05α=，经查表得，()()()()2210.95111 3.841512.6482r c αχχ---==<，故拒绝原假设，即色盲与性别不独立。

8、一实验室里有一批伏特计，他们经常被轮流使用来测量电压.今随机取了四只，每只伏特计用来测量电压为100V 的恒定电动势各5 次，得下列结果(每个数据均巳减去100) ： 试问这几只伏特计的测定值之间有无显著差异? （取0.05α=） 解：设每只伏特记在电动势2(,)i i X N μσ ，1,2,3,4i =（1）提出假设01234:H μμμμ=== （2）取统计量A Ae eS f F S f =，当0H 成立时，(,)A e F F f f （3）依题意可得，拒绝域为(){}1,A e W F F f f α-=≥ （4）代数据：计算表10.733.5710.78.01 2.2285,0.9895, 2.22850.9895 1.29620520T V e S S S =-==-==-=20119,413,19316T V e f f f =-==-==-=，将数据填写到下面方差分析表。

取0.05α=，经查表得，()0.953,16 3.24F =，由于 4.072 3.24F =>，故认为因子V （电压）是显著的，即4只伏特计的测定值之间有显著差异。

9、现收集了16组合金钢中碳含量x 与强度y 的0.125,45.7886,0.3024,25.5218,2432.4566xx xy yy x y l l l =====试求这两个变量间的经验回归方程，并对其效果的显著性进行检验(α＝0.05)。

解：（1）设y 关于x 在一元线性回归方程为：01ˆˆˆy x ββ=- 1ˆ25.521884.400.3024xyxxl l β===， 01ˆˆ45.78860.12584.4035.24y x ββ=-=-⨯= 由此给出线性回归方程为ˆ35.2484.40yx =+ （2）①提出假设：0111:0:0H vs H ββ=≠②取统计量2Re S F S n =-，当0H 成立时，(1,2)F F n -（3）依题意可得，拒绝域为{}1(1,2)W F F n α-=≥- （4）代数据：单因子方差分析表取0.05α=，经查表得()0.951,14 4.60F =，由于108.2848 4.60F =>，因此，在显著水平0.01下回归方程是显著的。

10、设201~(,),1,2,,i i Y N x i n ββσ+= ，诸Y i 独立，x 1, x 2, …, x n 为已知常数，证明2111(,,)n n nii iii i i Y x Y Y===∑∑∑是充分统计量。

证明：12,,,n Y Y Y 的联合分布密度函数为()21201211(,,)2nn i iip y y y y xββσ=⎧⎫⎧⎫=---⎨⎬⎬⎩⎭⎭∏()22222201010121111112exp2222n n n n nni i i i i ii i i i iy n x y x y x πσββββββσ-=====⎧⎫⎛⎫=-++--+⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑∑因为12,,,nx x x是已知常数，令()2123111,,,,n n ni i i ii i it t t t y x y y===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑，取()()() 222222010********221111,,,2exp2exp2222n nni ii ig t n x x t t tββσπσββββββσσ-==⎧⎫⎛⎫⎧⎫=-++⋅---⎨⎬⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭∑∑，()12,,.1nh y y y=，由因子分解定理，2111,,n n ni i i ii i iy x y y===⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑是()201,,ββσ充分统计量。

11、设x1, x2, …, x n是来自(,)Gaαλ的样本，0α>已知，试证明xα是()1gλλ=的UMVUE。

证明：总体(),Gaαλ的密度函数为()()1;,0xp x x e xααλλλα--=>Γ，则()()()ln;ln ln1lnp x x xλαλααλ=-Γ+--，()ln;p xxλαλλ∂=-∂，()222ln;p xλαλλ∂=-∂所以费希尔信息量为()()222ln;p xI Eλαλλλ⎡⎤∂=-=⎢⎥∂⎣⎦，这说明()1gλλ=的任意无偏估计的C R-下界为()()()2221gnnIλαλλ'=，又11xEαααλλ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，222111xVarn nαααλαλ⎛⎫=⋅⋅=⎪⎝⎭，故证明了xα是()1gλλ=的有效估计，从而也是UMVUE。