次是 56、50、40，那么 △CEH 的面积是（ ）．
A．32
B．34
C．35
D．36
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）
1
A
B
E
D
H
C
6. 一个由边长为 1 的小正方形组成的 n n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩
形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是（ ）．
开这 135 米的距离，需要135 (75 60) 9 分钟．综上，从初始状态到乙追上丙，共用了 9 9 18 分钟，
即乙共走了 6018 1080 米，再加上最后三人共行的 50 米，CD 段总长1080 50 1130 米．
（CD 段的算法二：如果敏锐地注意到甲比乙多的速度，刚好等于乙比丙多的速度的话，那么以乙为参
3. 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁 4 位同学有如下的对
话：
甲：“丙、丁之中至少有 1 人捐了款”
乙：“丁、甲之中至多有 1 人捐了款”
丙：“你们 3 人中至少有 2 人捐了款”
丁：“你们 3 人中至多有 2 人捐了款”
已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（ ）．
2
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）
答案解析
1.
【答案】 A
【解析】 原式


1 4
+
1 5

1 5

1+1+1 667

1 7

1 8
+
1 8
+
1 9

120

4 3


1 4
+
1 9

90000
15975 平方厘米．
（2）连接圆弧交点与正方形底边顶点，如图： A
300
B 300 C 可见 BA BC 300 ，CA CB 300 ，即三角形 ABC 为等边三角形，内角皆为 60 度，故知下半部分阴
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）
3.
【答案】 D
【解析】根据丙的话可知丙没捐；再根据甲的话知丁捐了；再根据乙的话知甲没捐，故乙捐了，选 D．
4.
【答案】 B
【解析】六名同学总成绩是：92.5 6 555 ．第三名同学得分最少，第二名同学得分尽量多，98 分（比第一名少
1 分），第四名、第五名尽量和第三名差 1 分、2 分，所以三、四、五名的总分和是：555 99 98 76 282 ，
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分）
7. 在每个格子中填入 1～6 中的一个，使得每行、每列及每个 2 3 长方形内（粗线框围成），数字不重复；如果 小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其他相邻两格所填数的和是质数，那么四位数 相约华杯 是__________．
3月1 4 相 约 华杯
10. A 地、B 地、C 地、D 地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从 A 地、B 地、C 地同时出发，匀 速向 D 地行进，当甲在 C 地追上乙时，甲的速度减少 40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少 40%；甲追 上丙 9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少 25%；乙追上丙后再行 50 米，三人同时到 D 地．已知乙出 发时的速度是每分钟 60 米，那么甲出发时的速度是每分钟________米，A、D 两地间的路程是________米．
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）
一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正 确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1.
计算：

9 20

11 30

13 42

15 56

17 72

120

1 3

1 4
（2）由于我们所知的唯一时间单位是“甲追上丙后 9 分钟，乙也追上了丙”，故首先考察甲乙到达 C（注
意：这一段讨论设置此时间点为起始时间点），继续追及丙的这一段过程：乙从甲丙碰面到追上丙用了
9 分钟，故这一段追及的路程差为 (60 45) 9 135 米．可是初始时甲乙是同处于 C 地的，甲乙之间拉

（
）．
A．42
B．43
C．15 1 3
D．16 2 3
2. 如图，有一排间距相等但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成 45 度角，
最高的小树高 2.8 米，最低的小树高1.4 米，那么从左向右数第 4 棵树的高度是（ ）米．
A． 2.6
B． 2.4
C． 2.2
D． 2.0
ab
c
若最多的一行只有 2 个黑格，则 x 10 ，太小，不再讨论． 综上，为了不出现“黑色四格”，黑色格最多只能有 12 个；那么同理为了不出现“白色四格”，白色格最 多也只能有 12 个．可是共有 25 格，根据抽屉原理，这是不可能做到的． 6 6 的证法与 5 5 类似：若最多行 6 个，则剩余行最多 1 个， x 6 11111 1118 ；若最多行 5 个，则剩余行最多 2 个， x 5 2 2 2 2 2 15 18 ；若最多行 4 个，则第二多行最多 3 个，再一 行最多 2 个（还是以 a、b、c 区域的方法讨论）， x 4 3 2 2 2 2 15 18 ；若最多行 3 个，则每 一行都 3 个的答案看似可以，但实际行不通，原因是：一行 6 个格中选 2 个的方法有 C62 15 种，而一 行 3 个会占用其中的 C32 3种，6 行 18 种，根据抽屉原理，必然有某两行有相同的涂色对，会组成“黑 色四格”．可见任何一种涂色方式都有 x 18 ，故知无法涂成． 当 n 取更大的数时，证明方法将更为繁琐（例如 n 7 时可推出最大有 x 21 25 ，找组合数之和的最大 值是思路），这里不再赘述．本题答案为 B． 7. 【答案】 4123 【解析】 要做出本题不必将所有位置全填出来，只需分析中间两宫即可，如图：
a 3月1 4 c b 相约华杯d
看横行：a 可取 2 或 5 或 6，但其中只有 2 与 3 相加是质数，故知 a 2 ；进一步地，“月”与 1 的和是质
数，故只有“月” 6 ，进而 c 5 ；
再看左宫：b，“相”，“约”分别是 1、4、5，但其中只有1 4 是质数，故此时可断定 b 5 ；进一步地，
A．甲、乙
B．丙、丁
C．甲、丙
D．乙、丁
4. 六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 99 分，最低的 76 分，那么
按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（ ）．
A．94
B．95
C．96
D．97
5. 如图，BH 是直角梯形 ABCD 的高，E 是梯形对角线 AC 上一点；如果 △DEH 、△BEH 、△BCH 的面积依300Fra bibliotek300
这道题比较明显能看出应利用差不变原理，所求差即为：
2S扇形

S正方形

2
π 3002

1 4

3002

45000π

90000
平方厘米．
再继续思考本题，可知本题答案即比上述面积再少一个半圆的面积，即为：
45000π
90000

1 2

π


300 2
2


33750π
3 1、2、3、__、__、__、__、 n 、 n 、n，也就是说 n 必然含有质因数 2 和 3．
32 又由于 n 恰含有 10 个因数，根据因数个数定理，n 的质因数分解式只有两种形式： a9 或者 a1 b4 ． 综合以上两点，可知 n 应为 21 34 或 31 24 ，其中 21 34 162 更大． 9. 【答案】 15975；485 【解析】 （1）先看本题的弱化版：求阴影面积之差：
10.
【答案】 125；1880
【解析】（1）“三人同时到达 D 地”的意义即为甲在两次减速后，以及乙在一次减速后的速度，与丙的速度是相 同的，故可设甲的速度是 100 份，则一次、两次减速后的速度分别应是 100 (1 40%) 60 份和
60 (1 40%) 36 份；说明丙的速度就是 36 份；进一步逆推出乙在减速之前的速度为 36 (1 25%) 48
8. 整数 n 一共有 10 个约数，这些约数从小到大排列，第 8 个是 n ，那么整数 n 的最大值是________． 3
9. 在边长为 300 厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是 ________平方厘米，两块阴影部分的周长差是________厘米．（ π 取 3.14 ）
份，这样就得到了三人初始的速度比为100 : 48: 36 25:12 : 9 ，由乙的具体初始速度“每分钟 60 米”可解
得甲的初始速度为 60 25 125 米每分（同时可得到丙的初始速度为 60 9 45 米每分，甲一次减速后
12
12
速度是125 (1 40%) 75 米每分）．
“相”与 3 的和是质数，只能“相” 4 ，进而“约” 1；
再看右宫：“华”，“杯”，d 分别是 2、3、6，但其中只有 2 3 是质数，故此时可断定 d 6 ；进一步地，