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华杯赛小高近5年真题(附详解)20C


次是 56、50、40,那么 △CEH 的面积是( ).
A.32
B.34
C.35
D.36
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C(小学高年级组)
1
A
B
E
D
H
C
6. 一个由边长为 1 的小正方形组成的 n n 的方格网,用白色或黑色对每个小正方形涂色,要求满足在任意矩
形的 4 个角上的小正方形不全同色,那么正整数 n 的最大值是( ).
开这 135 米的距离,需要135 (75 60) 9 分钟.综上,从初始状态到乙追上丙,共用了 9 9 18 分钟,
即乙共走了 6018 1080 米,再加上最后三人共行的 50 米,CD 段总长1080 50 1130 米.
(CD 段的算法二:如果敏锐地注意到甲比乙多的速度,刚好等于乙比丙多的速度的话,那么以乙为参
3. 春季开学后,有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生;事后,甲、乙、丙、丁 4 位同学有如下的对
话:
甲:“丙、丁之中至少有 1 人捐了款”
乙:“丁、甲之中至多有 1 人捐了款”
丙:“你们 3 人中至少有 2 人捐了款”
丁:“你们 3 人中至多有 2 人捐了款”
已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款,那么这 2 位同学是( ).
2
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C(小学高年级组)
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C(小学高年级组)
答案解析
1.
【答案】 A
【解析】 原式


1 4
+
1 5

1 5

1+1+1 667

1 7

1 8
+
1 8
+
1 9

120

4 3


1 4
+
1 9

90000
15975 平方厘米.
(2)连接圆弧交点与正方形底边顶点,如图: A
300
B 300 C 可见 BA BC 300 ,CA CB 300 ,即三角形 ABC 为等边三角形,内角皆为 60 度,故知下半部分阴
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C(小学高年级组)
3.
【答案】 D
【解析】根据丙的话可知丙没捐;再根据甲的话知丁捐了;再根据乙的话知甲没捐,故乙捐了,选 D.
4.
【答案】 B
【解析】六名同学总成绩是:92.5 6 555 .第三名同学得分最少,第二名同学得分尽量多,98 分(比第一名少
1 分),第四名、第五名尽量和第三名差 1 分、2 分,所以三、四、五名的总分和是:555 99 98 76 282 ,
A.3
B.4
C.5
D.6
二、填空题(每小题 10 分,满分 40 分)
7. 在每个格子中填入 1~6 中的一个,使得每行、每列及每个 2 3 长方形内(粗线框围成),数字不重复;如果 小圆圈两边格子中所填数的和是合数,其他相邻两格所填数的和是质数,那么四位数 相约华杯 是__________.
3月1 4 相 约 华杯
10. A 地、B 地、C 地、D 地依次分布在同一条公路上,甲、乙、丙三人分别从 A 地、B 地、C 地同时出发,匀 速向 D 地行进,当甲在 C 地追上乙时,甲的速度减少 40%;当甲追上丙时,甲的速度再次减少 40%;甲追 上丙 9 分钟,乙也追上了丙,这时乙的速度减少 25%;乙追上丙后再行 50 米,三人同时到 D 地.已知乙出 发时的速度是每分钟 60 米,那么甲出发时的速度是每分钟________米,A、D 两地间的路程是________米.
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题 C(小学高年级组)
一、选择题(每小题 10 分,满分 60 分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正 确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)
1.
计算:

9 20

11 30

13 42

15 56

17 72

120

1 3

1 4
(2)由于我们所知的唯一时间单位是“甲追上丙后 9 分钟,乙也追上了丙”,故首先考察甲乙到达 C(注
意:这一段讨论设置此时间点为起始时间点),继续追及丙的这一段过程:乙从甲丙碰面到追上丙用了
9 分钟,故这一段追及的路程差为 (60 45) 9 135 米.可是初始时甲乙是同处于 C 地的,甲乙之间拉


).
A.42
B.43
C.15 1 3
D.16 2 3
2. 如图,有一排间距相等但高度不等的小树,树根成一条直线,树顶也成一条直线,这两条直线成 45 度角,
最高的小树高 2.8 米,最低的小树高1.4 米,那么从左向右数第 4 棵树的高度是( )米.
A. 2.6
B. 2.4
C. 2.2
D. 2.0
ab
c
若最多的一行只有 2 个黑格,则 x 10 ,太小,不再讨论. 综上,为了不出现“黑色四格”,黑色格最多只能有 12 个;那么同理为了不出现“白色四格”,白色格最 多也只能有 12 个.可是共有 25 格,根据抽屉原理,这是不可能做到的. 6 6 的证法与 5 5 类似:若最多行 6 个,则剩余行最多 1 个, x 6 11111 1118 ;若最多行 5 个,则剩余行最多 2 个, x 5 2 2 2 2 2 15 18 ;若最多行 4 个,则第二多行最多 3 个,再一 行最多 2 个(还是以 a、b、c 区域的方法讨论), x 4 3 2 2 2 2 15 18 ;若最多行 3 个,则每 一行都 3 个的答案看似可以,但实际行不通,原因是:一行 6 个格中选 2 个的方法有 C62 15 种,而一 行 3 个会占用其中的 C32 3种,6 行 18 种,根据抽屉原理,必然有某两行有相同的涂色对,会组成“黑 色四格”.可见任何一种涂色方式都有 x 18 ,故知无法涂成. 当 n 取更大的数时,证明方法将更为繁琐(例如 n 7 时可推出最大有 x 21 25 ,找组合数之和的最大 值是思路),这里不再赘述.本题答案为 B. 7. 【答案】 4123 【解析】 要做出本题不必将所有位置全填出来,只需分析中间两宫即可,如图:
a 3月1 4 c b 相约华杯d
看横行:a 可取 2 或 5 或 6,但其中只有 2 与 3 相加是质数,故知 a 2 ;进一步地,“月”与 1 的和是质
数,故只有“月” 6 ,进而 c 5 ;
再看左宫:b,“相”,“约”分别是 1、4、5,但其中只有1 4 是质数,故此时可断定 b 5 ;进一步地,
A.甲、乙
B.丙、丁
C.甲、丙
D.乙、丁
4. 六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分,他们的成绩是互不相同的整数,最高的 99 分,最低的 76 分,那么
按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是( ).
A.94
B.95
C.96
D.97
5. 如图,BH 是直角梯形 ABCD 的高,E 是梯形对角线 AC 上一点;如果 △DEH 、△BEH 、△BCH 的面积依300Fra bibliotek300
这道题比较明显能看出应利用差不变原理,所求差即为:
2S扇形

S正方形

2
π 3002

1 4

3002

45000π

90000
平方厘米.
再继续思考本题,可知本题答案即比上述面积再少一个半圆的面积,即为:
45000π
90000

1 2

π


300 2
2


33750π
3 1、2、3、__、__、__、__、 n 、 n 、n,也就是说 n 必然含有质因数 2 和 3.
32 又由于 n 恰含有 10 个因数,根据因数个数定理,n 的质因数分解式只有两种形式: a9 或者 a1 b4 . 综合以上两点,可知 n 应为 21 34 或 31 24 ,其中 21 34 162 更大. 9. 【答案】 15975;485 【解析】 (1)先看本题的弱化版:求阴影面积之差:
10.
【答案】 125;1880
【解析】(1)“三人同时到达 D 地”的意义即为甲在两次减速后,以及乙在一次减速后的速度,与丙的速度是相 同的,故可设甲的速度是 100 份,则一次、两次减速后的速度分别应是 100 (1 40%) 60 份和
60 (1 40%) 36 份;说明丙的速度就是 36 份;进一步逆推出乙在减速之前的速度为 36 (1 25%) 48
8. 整数 n 一共有 10 个约数,这些约数从小到大排列,第 8 个是 n ,那么整数 n 的最大值是________. 3
9. 在边长为 300 厘米的正方形中,如图放置了两个直角扇形和一个半圆,那么两块阴影部分的面积差是 ________平方厘米,两块阴影部分的周长差是________厘米.( π 取 3.14 )
份,这样就得到了三人初始的速度比为100 : 48: 36 25:12 : 9 ,由乙的具体初始速度“每分钟 60 米”可解
得甲的初始速度为 60 25 125 米每分(同时可得到丙的初始速度为 60 9 45 米每分,甲一次减速后
12
12
速度是125 (1 40%) 75 米每分).
“相”与 3 的和是质数,只能“相” 4 ,进而“约” 1;
再看右宫:“华”,“杯”,d 分别是 2、3、6,但其中只有 2 3 是质数,故此时可断定 d 6 ;进一步地,
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