浅论行列式及其计算方法摘要：本文主要介绍了行列式的概念——行列式是n 阶矩阵的一个特征量。

行列式的性质——行列式和它的转置行列式相等等一系列性质。

行列式的计算方法——化三角法，定义法等。

克莱姆法则。

以及和矩阵相关的一些问题。

关键词：行列式的概念 行列式的性质 行列式的计算 矩阵 克莱姆法则 正文1行列式的概念1.1 二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如1112112212212122a a a a a a a a =- （1.1） 111213212223112233122331132132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++ 322311332112312213a a a a a a a a a --- （1.2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。

行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标。

如32a 表示该元素位于第3行、第2列。

二阶、三阶行列式的全面展开可以用对角线法。

【例】5152(1)31332-=⨯--⨯=；2222()a ba b a b b a=--=+-；250133416---2361(1)0(5)(3)4=⨯⨯+⨯-⨯+-⨯-⨯034-⨯⨯(1)(3)21(5)6--⨯-⨯-⨯-⨯(36)(0)(60)(0)(6)(30)120=++----=。

1.2 n 阶行列式的全面展开用2n 个元素可以构成n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a 212222111211。

行列式有时简记为j i a 。

一阶行列式a 就是a 。

高于4阶的行列式不能用对角线法展开。

参照二阶、三阶行列式的展开式（1.1）、（1.2），规定n 阶行列式的全面展开按如下方式进行：（1）展开式的每一项都是不同行、不同列的n 个元素的乘积。

（2）取自不同行、不同列的n 个元素要出现所有不同的搭配。

若将行标顺序安排，则每一项对应列标的一个排列。

如332112a a a 对应的排列是2 1 3。

所有不同的搭配，对应所有不同的列标排列，n 个自然数共有!n 种排列，因而全面展开式共有!n 项。

（3）各项的前置符号，偶排列取正，奇排列取负。

所谓偶（奇）排列是指该排列的逆序数为偶（奇）数。

比如排列4 3 1 2中，4后面有比它小的3、1、2（算作3个逆序），3后面有1、2，合计共有5个逆序，是奇排列。

全面展开式的!n 项中有半数的前置符号为正，另一半为负。

通过全面展开来计算行列式显然是很复杂的，应该考虑简便的方法。

2行列式的性质将行列式D 的行与列互换后得到的行列式，称为D 的转置行列式，记为T D 。

即 =D nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211 ，=T D nnn nn n a a a a a a a a a 212221212111实际书写时，“横着看，竖着写”，便可得到转置行列式。

性质1 行列式转置后，其值不变，即D D T=。

【例】 543692781567498321=证 在行列式D 中，每一行取一个元素，这n 个元素位于不同的列，它们的乘积添上前置符号构成了D 的展开式中的一项。

该项中的元素也可以理解为取自不同的列，并位于不同的行，而这正是TD 的展开式中的一项。

可见D 和TD 的展开式中各项都对应相同，因此它们相等。

这条性质告诉我们，行列式的行具有某一性质，它们的列也具有相同的性质。

性质２ 交换行列式的两行（列），行列式的值变号。

【例】 498567321567498321-=证 交换行列式的两行，相当于在展开式每一项所对应的列标排列中，交换了两个数字的位置。

这两个数字之间的逆序发生了变化，而这两个数字和其它数字之间的逆序变化是成对发生的，因此整个排列的逆序数变化量为奇数，从而排列的奇偶性发生改变。

即行列式展开式中的每一项都改变了符号，于是行列式的值变号。

性质3 行列式的某一行（列）元素有公因子，可以提到行列式的外面。

【例】 567498321567498321k k k k= 证 行列式的某一行有公因子k 时，因为行列式展开式的每一项中都出现了该行的一个元素，所以每一项都有了公因子k ，当然可以提取出来。

这条性质也可以反向运用：行列式乘数k ，等于把k 乘到行列式的某一行（列）上去。

推论 以下三种行列式的值为零。

（1）行列式有某一行（列）的元素全为零。

（2）行列式有两行（列）完全相同。

（3）行列式有两行（列）的元素成比例。

证 其中第一种行列式有公因子0；第二种行列式交换两行（列）后，其值不变，同时又改变符号，即D D -=，故0=D ；第三种行列式提取公因子后，即第二种行列式。

性质4 一个行列式可以拆分成两个行列式的和，这两个行列式的某对应行（列）上相同位置的元素之和，正好等于原行列式的对应位置的元素，而其它行（列）的元素都与原行列式相同。

【例】=4321432143214321c c c c b b b b a a a a +-4321432143213102c c c c b b b b a a a a 4321432143211421c c c c b b b b a a a a - 证 因为在行列式展开式的各项中，可以把来自于某行（列）的元素拆分成两数之和，再利用分配律将每一项都拆成两项之和，由此组合成两个行列式，而且行列式中除被拆分的元素外，其它元素都未变。

这条性质给出了行列式的拆分规则。

若反向运用，则成了行列式的合并规则。

拆分与合并规则特别强调：除某一对应行（列）外，其余元素都相同。

性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。

证 做了这种变换后的行列式可以拆分成两个行列式，一个是原行列式，另一个是推论中的第三种行列式（其值为零）。

3.1定义法n 级行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a ()1的值等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a ()2的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列,每一项()2都是按下列规则带有符2n j 是偶排列时2n j 是奇排列时一定义可以写成()2121212221121n nnn j n j nj j j j n n nna a a a a a a a a =-∑,这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和.例 1. 计算 2336的值.解:原式26333=⨯-⨯= 但是对于含有元素较多的高阶行列式可用定义法计算则较为复杂,一般仅对2级3级的行列式采用。

而对与高阶行列式中0元素较多的行列式则可以采用.因行列式的项1212n j j nj a a a 中有一因数为零时，该项的值为零，故只需求出全部为非零乘积的1212n j j nj a a a 项相加即可。

通常是从行列式的一般项行入手，将行标按自然数排列，讨论列标12n j j j 的所有可能的非零取值，并且要注意每一项1212n j j nj a a a 的符号。

例 2. 计算12345阶行列式12345A =1234500000000123440020001000解:有定义法知:只需求出A 中所有的非零项相加即可。

D 中的第一行的非零元素只有1,12344a ，因而112344j =，同理2123441234512343112345j j j ===于是12n j j j 在可能取的数值中，12n j j j 只能组成一个12345个元素的排列：1234412343 … 2 1 12345 .而此排列的逆序数为τ=123432123442)1(⨯=-n n 为偶数，故 ()2009,20091,20082007,22008,11A a a a a τ-=()1345123443211)12343212344(⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯!12345=3.2化三角法运用行列式的8个性质将 化为上(下)三角形或者对焦三角形此时行列式值即比较明显求出.这是计算三阶及三阶以上行列式值的基本方法和主要方法.特别对于和型行列式可用主对角线元素化为上(下)三角形计算.对于和型行列式可用副对角元素化为上(下)三角形行列式计算． 例 3 .()251319137315528710251319137191372513:315531552871028710191371913701325170132517026342600168026332400171019137013251700168300023131613833123------------=------------==-------=-⎛⎫=--⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭解例 4. 求解4阶行列式11111200D 10301004=111111110002341110010022:D=2342411010010*******00144---⋅⋅=解11124(1)234=2=⨯----3.3.降阶法利用行列式的性质对行列式中存在某行（列）0元素较多的行列式进行行(列)展开.容易留下少些非0部分将行列式降阶一般也只对非特殊阶数不高的行列式计算如下. 亦可利用降阶定理对高阶的行列式求值. 例5． 计算行列式1310310112104121-=D解：131310112101020-=D =131121102-=031023102-- =3123-- =-7降阶定理:设A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭是方阵,且A 可逆,则1A B A D CA B C D -=- 证明:111211120000E A B A B CAE C D D CA B E A B A B CA E C D D CA B----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=--例 6. 计算()1b b bc ddd c d d c ddλλλλ≠其中解: 原式= ()()111d d c d d c b b b b c d dc λλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⨯-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,cb d cb d cb d cb cbd cbd cb d cbcbλλλ---------然后从第2列起,后面的每一列依次减去第一列,可得: 原式=0000cb dd d dcb dd cb dd cbdλλλλλλλ----------=()()21000n d n cbd cb dd cbdλλλ+-------=()()()121n d n d n cb λλ--+---⎡⎤⎣⎦4克莱姆法则含有n 个未知量、n 个方程的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1.7） 未知量的所有系数构成的行列式=D nnn n nna a a a a a a a a212222111211称为方程组（1.7）的系数行列式。