集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分例1、将集合{}1,2,,1989 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i = 使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。

例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m = ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥ ，求证：22nM ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A = ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈ ，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,kk += ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。

证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合； （2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M == ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅ 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a = 的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求12111na a a +++的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A = ，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n 的子集族12,,,n A A A 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈ ，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈ ，i j A A ≠∅ ，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数例15、集合{}*1,2,,6,X k k N =∈ ，试作出X 的三元子集族A ，满足：（1）X 的任一二元子集至少被族A 中的一个三元子集包含；（2）26k =A四、有关子集族的最值问题例16、集合{}0,1,2,,9A = ，{}12,,,k B B B 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，i j B B 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆ 满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A例18、设{}1,2,,1997A = ，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =- ，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅ ，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=4、已知集合M 是{}1,2,,2008A = 的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M 中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n = ，,,A B C 是X 的分划，即A B C X = ，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x Ax Bx x∈∈=∑∑？11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m = 任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有n 个数（不要求它们互不相同）：12,,,n x x x ，使得121n n x x x x -+++=12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n = 任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得a b c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+ 可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z = ，其中121993,,,Z Z Z 为非零复数（可视为平面上非零向量）． 求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得 （1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．16、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭ ， ()12,,,s n n n B s s s ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭构成{}1,2,,2N n =- 的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+ ，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A = 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有 个19、设集合{}1,2,,2008A = ，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少？22、设S 是集合{}1,2,,9 的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A = ，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈ ，使得{},j A a b 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A = ，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S = ，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A 满足下列条件：（1）7i A =； （2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤ ；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆ ，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆= 为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集？32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n 的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值33、{}1,2,,2008A ⊆ ，且A 具有如下性质：A 中任两个不同元素之和不被7整除，求A 的最大值34、1230,,,A A A {}1,2,,2003⊆ 的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥35、{}1,2,,2000A ⊆ ，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤ ；（3）12n A A A =∅ ，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A + 是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121i j A A i j n =≤<≤+ ；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一张写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆= ，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈= 中任意两个的交集为空集。