专题01 数 列(知识梳理)一、数列的概念及表示 (一)数列的概念1、数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每个数都叫这个数列的项.数列的一般形式:1a ,2a ,3a ,…n a ,…,或简记为}{n a .其中1a 是数列的第1项(又称首项),n a 是数列的第n 项(又称通项). 例1-1.判断下列各组元素能否构成数列: (1)a ,3-,1-,1,b ,5,7,9; (2)2020年各省参加高考的考生人数.2、通项公式的定义:如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.3、数列的特性:(对比集合的特性)→数列是特殊的数集、点集.(1)有序性:数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.(2)可异性:定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现,如常数列. (3)从函数角度看数列:数列可以看作是一个定义域为正整数集+N (或它的有限子集}321{n ,,,,⋅⋅⋅)的函数. 4、数列的分类:(1)根据数列项数的多少分:①有穷数列:项数有限的数列;例如数列1,2,3,4,5,6.是有穷数列. ②无穷数列:项数无限的数列;例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列. (2)根据数列项的大小分:①递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. ②递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. ③常数数列:各项相等的数列.④摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. (3)根据任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为:①有界数列;②无界数列. (二)数列的表示方法 1、列表法(又称列举法).2、图像法:图像过一四象限或x 轴正半轴,横坐标为正整数.是一系列孤立的点,不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性.3、解析法:用数列的通项公式也就是相应函数的解析式来表示数列.例2-1.下列公式可作为数列}{n a :1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( ).B 、21)1(+-=n n aC 、23)1(1+-=+n n aD 、|2sin|2π-=n a n (三)根据数列的前n 项写出这个数列的通项公式1、编号:把序号1、2、3、…、n 标在相应项上,便于突出第n 项n a 与项数n 的关系,即n a 如何用n 表示. 2、变形:(1)出现正负间隔用n )1(-或1)1(+-n 进行调整.(2)出现分数首先考虑分子、分母是否存在规律,然后考虑通分成同分母分数. (3)找不到规律可以考虑1±后再观察.(4)当一个数列间隔几项才具有相同规律(特别是奇数项与偶数项)时,不妨用分段函数来表示其通项公式.3、常见数列:如等差、等比数列及常见的特殊数列的通项公式:例3-1(1)3,5,9,17,33,…… (2)32,154,356,638,9910,……(3)0,1,0,1,0,1,……(5)1,0,31-,0,51,0,71-,0,……(6)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……(四)根据图像写出这个数列的通项公式1、如果给出图像,求通项公式,一般不要把图像转换为数字,而是要通过图像的变化规律来推出数列的通项公式.例4-1.已知,则第n 个图中有 个点.例4-2.已知,则第n 个图中有 个点.例4-3.已知,则第n 个图中有 个点.2、如果给出图像变化的规律,求某一点的变化规律,可寻找一定的规律或周期,从而简化试题,然后推出所求的某一点.例4-4.如图,n 个连续自然数按规律排成下表,则从2018到2020的箭头方向依次为( ).A 、↑→B 、→↑C 、↓→D 、→↓(五)根据周期性求数列的某一项1、周期数列的定义及主要性质:对于数列}{n a ,如果存在一个常数T (+∈N T ),恒有n T n a a =+成立,则称数列}{n a 是最小正周期为T 的周期数列.2、周期数列的表示方式:周期数列的通项公式通常都可以用分段的方式表示出来,一般只需要求出它的一个最小正周期即可.例5-1.已知数列}{n a 满足21=a ,nn a a 111-=+,求n a .3、对于求数字比较大的某一项或分段表示的数列一般考虑周期性.例5-2.已知数列}{n a 中,31=a ,52=a ,且21---=n n n a a a (2>n ),则2021a 的值为( ).A 、5-B 、2-C 、2D 、3例5-3.在数列}{n a 中,01=a ,nn n a a a 3131-+=+,则=2021a ( ).A 、3-B 、0C 、3D 、32(六)数列单调性的判定及其应用 1、根据定义判定:2(1)b kn a n +=为一次函数形式:①0>k 时为递增数列;②0<k 时为递减数列. (2)c tn kn a n ++=2为二次函数形式:只有对称轴232<-k t 才时有增减性:①0>k 时为递增数列;②0<k 时为递减数列. (3)nka n =为反比例函数形式:①0>k 时为递减数列;②0<k 时为递增数列. (4)n n k a =为指数函数形式:只有0>k 且1≠时才有增减性:①1>k 时为递增数列;②10<<k 时为递减数列. 例6-1.数列}{n a 满足222+-=pn n a n ,+∈N n ,且数列}{n a 是递增数列,则实数p 的取值范围是 .变式6-1.数列}{n a 满足222+-=pn n a n ,+∈N n ,且数列}{n a 满足从且只从第三项开始为递增数列,则实数p 的取值范围是 .3、分段数列单调性的判定:分段数列的单调性可根据各段内单调性进行判断,但要注意如果整体具有单调性则需注意临界点应符合要求.例6-2.设函数⎩⎨⎧>-≤--=767)3)(3()(x mx x x m x f ,,,数列}{n a 满足)(n f a n =,+∈N n ,且数列}{n a 是递增数列,则实数m的取值范围是 .4、数列中的项的最值的求法:根据数列与函数之间的对应关系,构造相应函数)(n f a n =,利用求解函数最值的方法求解,但要注意自变量的取值.5、前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和n S ,根据n S 的表达式求解最值;(2)根据数列的通项公式,若0≥m a ,且01<+m a ,则m S 最大;若0≤m a ,且01>+m a ,则m S 最小,这样便可直接利用各项的符号确定最值.例6-3.已知数列}{n a 的通项公式为20212+-=n n a n . (1)n 为何值时,n a 有最小值?并求出最小值; (2)n 为何值时,该数列的前n 项和最小?二、等差数列及其前n 项和 (一)等差数列的定义1、等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示). (1)公差d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;(2)对于数列}{n a ,若d a a n n =--1(与n 无关的数或字母),2≥n ,+∈N n ,则此数列是等差数列,d 为公差. 2、等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=. 有几种方法可以计算公差d :①1--=n n a a d ;②11--=n a a d n ;③nm a a d nm --=.3、等差中项:数列a 、A 、b 成等差数列的充要条件是2ba A +=,其中A 叫做a 、b 的等差中项. 即有2ba A +=⇔a 、A 、b 成等差数列恒成立. 4、若数列}{n a 的通项公式为q pn a n +=(p 、q 为常数),则这个数列一定是等差数列.有: (1)若0=p ,则}{n a 是公差为0的等差数列,即为常数列q 、q 、q 、….(2)若0≠p ,则}{n a 是关于n 的一次式,从图像上看,表示数列的各点均在一次函数q px y +=的图像上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q .(3)数列}{n a 为等差数列的充要条件是其通项q pn a n +=(p 、q 为常数),又称第3通项公式. (4)判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个. 5、证明}{n a 为等差数列的方法:(1)定义法:d a a n n =--1(d 为常数,2≥n )⇔}{n a 为等差数列;用定义证明等差数列时,常采用的两个式子d a a n n =-+1和d a a n n =--1,但它们的意义不同,后者必须加上“2≥n ”,否则1=n 时,0a 无定义.(2)中项法:212+++=n n n a a a ⇔}{n a 为等差数列; (3)通项法:n a 为n 的一次函数⇔}{n a 为等差数列; (4)前n 项和法:Bn An S n +=2或2)(1n n a a n S +=. 例1-1.在数列}{n a 中,31-=a ,3221++=-n n n a a (2≥n ,且+∈N n ). (1)求2a 、3a 的值; (2)设n n n a b 23+=(+∈N n ),证明:数列}{n b 是等差数列; (3)求n a .(二)等差数列的性质1、在等差数列中,若k p n m +=+,则k p n m a a a a +=+(+∈N k p n m 、、、).注意:但通常由k p n m a a a a +=+推不出k p n m +=+,因为有常数列的存在. 例2-1.设等差数列}{n a 的前n 项和n S ,若84=S ,208=S ,则=+++14131211a a a a ( ).A 、15B 、16C 、17D 、182、在等差数列}{n a 中,k a 、k a 2、k a3、k a4、…仍为等差数列,公差为kd . 3、若}{n a 为等差数列,则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、…仍为等差数列,公差为d k 2.kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 例2-2.在等差数列}{n a 中,已知3163=S S ,则=126S S( ). A 、51B 、103C 、21D 、158 4、等差数列的增减性:0>d 时为递增数列,且当01<a 时前n 项和n S 有最小值.0<d 时为递减数列,且当01>a 时前n 项和n S 有最大值.5、等差数列}{n a 的首项是1a ,公差为d .若其前n 项之和可以写成Bn An S n +=2,则2d A =,21da B -=,当0≠d 时它表示二次函数,数列}{n a 的前n 项和Bn An S n +=2是}{n a 成等差数列的充要条件. (三)等差数列前n 项和1、等差数列的前n 项和公式1:2)(2)()1(1na a n a a S m n m n n --+=+=. 例3-1.在等差数列}{n a 中,已知1684=+a a ,则该数列前11项和=11S ( ).A 、58B 、88C 、1432、等差数列的前n 项和公式2:d n n n a S n 2)1(1-+=. 3、奇数项及偶数项等差数列的前n 项和 (1)若项数为奇数时:2ndS S =-奇偶;若项数为12-n ,则中偶奇a a S S n ==-,1-=n n S S 偶奇;(2)若项数为偶数时:nS S S n=-偶奇(即这个数列的中间项的值);若项数为n 2,则nd S S =-奇偶,1+=n n a a S S 偶奇.例3-2.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是 ,项数是 .4、已知n S ,求n 或者d .例3-3.将含有n 项的等差数列插入4和67之间,仍构成一个等差数列,且新等差数列的所有项之和等于781,则n 值为( ).A 、20B 、21C 、22D 、235、公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,则数列}{n S n 必是首项为1a ,公差为2d的等差数列. 例3-4.数列}{n a 的通项公式是12+=n a n ,前n 项和为n S ,则数列}{nS n的前10项和为 .例3-5.设}{n a 为等差数列,n S 为数列}{n a 的前n 项和,已知77=S ,7515=S ,n T 为数列}{nS n的前n 项和,求n T .6、等差数列中,mnd S S S n m m n ++=+.例3-6.已知等差数列}{n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为 .(四)对等差数列前项和的最值问题有三种方法:1、利用n a :①当01>a ,0<d ,前n 项和有最大值,可由0≥n a 且01≤+n a ,求得n 的值;②当01<a ,0>d ,前n 项和有最小值,可由0≤n a 且01≥+n a ,求得n 的值.注意:求n S 的最值时,当0=n a 时n 取两个值.例4-1.在等差数列}{n a 中,01>a ,129S S =,则前n 项的和最大时n 的值为 .2、利用n S :由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 例4-2.已知在等差数列}{n a 中,311=a ,n S 是它的前n 项的和,2210S S =. (1)求n S ;(2)这个数列前多少项的和最大?求出这个最大值.3、利用函数的单调性例4-3.已知数列}{n a 的通项公式为9998--=n n a n (+∈N n ),则其前30项中最大项的项数与最小项的项数之和为 .(五)与前n 项和有关的三类问题已知和未知是常用方法.1、知三求二:已知1a 、d 、n 、n a 、n S 中任意三个,可求得其余两个,一般用方程解. 例5-1.已知}{n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若211=a ,32a S =,则=2a . 2、A d Bn An n da n d S n 2)2(2212=⇒+=-+=. 3、利用二次函数的图像确定n S 的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的纵坐标不一定是最小值.应取n 为正整数时的数值.三、等比数列及其前n 项和 (一)等比数列的定义1、等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(0≠q ),即:q a a n n=-1(2≥n ,+∈N n ,0≠q ).(1)从第二项起与前一项之比为常数q :}{n a 成等比数列⇔q a a nn =+1(+∈N n ,0≠q ). (2)隐含:任一项0≠n a 且0≠q ;“0≠n a ”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件. (3)1=q 时,}{n a 为常数列.(4)由n n qa a =+1,0≠q 并不能立即断言}{n a 为等比数列,还要验证01≠a . 2、等比数列的通项公式:11-⋅=n n q a a (01≠⋅q a )或m n m n q a a -⋅=(m n >); 3、既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.4、等比数列与指数函数的关系:等比数列}{n a 的通项公式11-⋅=n n q a a (01≠⋅q a ),它的图像是分布在曲线xq qa y 1=(0>q )上的一些孤立的点. 当01>a ,1>q 时,等比数列}{n a 是递增数列; 当01<a ,10<<q 时,等比数列}{n a 是递增数列; 当01>a ,10<<q 时,等比数列}{n a 是递减数列; 当01<a ,1>q 时,等比数列}{n a 是递减数列; 当0<q 时,等比数列}{n a 是摆动数列; 当1=q 时,等比数列}{n a 是常数列.5、等比数列的判定与证明方法 (1)定义法:若q a a n n =+1(+∈N n ,0≠q )或q a an n =-1(2≥n ,+∈N n ,0≠q ),则}{n a 是等比数列.(3)通项公式法:若数列通项公式可写成n n q c a ⋅=(0≠c ,0≠q ,+∈N n ),则}{n a 是等比数列.例1-1.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且n S a n n =+.(1)设1-=n n a b ,求证:}{n b 是等比数列;(2)求数列}{n a 的通项公式.(二)等比数列的性质1、等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a 、G 、b 成等比数列,那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即ab G ±=(a 、b 同号).如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a 、G 、b 成等比数列,则ab G ab G G b a G ±=⇒=⇒=2; 反之,若ab G =2,则Gb a G =,即a 、G 、b 成等比数列, ∴a 、G 、b 成等比数列⇔ab G =2b(0≠ab ).2、等比中项的性质:①112+-⋅=n n na a a (2≥n );k n k n n a a a +-⋅=2(0>>k n ); ②若k p n m +=+,则k p n m a a a a ⋅=⋅.注意:但通常由k p n m a a a a ⋅=⋅推不出k p n m +=+,因为有非零常数列的存在.3、数列}{n a 首项是1a ,公比为1q ,数列}{n b 首项为1b ,公比为2q ,则数列}{n n b a ⋅是首项为11b a ⋅,公比为21q q ⋅的等比数列,同理数列}{n n b a 是首项为11b a ,公比为21q q 的等比数列. 4、在公比为q 的等比数列}{n a 中,数列m a 、k m a +、k m a 2+、k m a 3+…仍是等比数列,公比为k q .例2-1.各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,若2=n S ,143=n S ,则=n S 4( ).A 、16B 、26C 、30D 、80(三)等比数列的前n 项和n S 公式:1、当1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1①或qq a a S n n --=11②;当1=q 时,1na S n =. 当已知1a ,q ,n 时用公式①;当已知1a ,q ,n a 时用公式②.2、等比数列的前n 项和n S 性质:(1)前n 项和公式的函数特性:①当1=q 时1na S n =是n 的正比例函数,②当1≠q 时,n n n q q a q a q q a S ⋅---=--=111)1(111,记qa A -=11,即A q A S n n +⋅-=,是一个指数式与一个常数的和; (2)数列k S 、k k S S -2、k k S S 23-、…仍是等比数列(此时1-≠q ).k kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ (3)在等比数列中,若项数为n 2(+∈N n ),偶S 与奇S 分别为偶数项和与奇数项和,则q S S =奇偶; (4)m n n m n S q S S ⋅+=+. 3、等比数列的前n 项和n S 是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的运用.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论,防止因忽略1=q 这一特殊情形导致解题失误.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量1a 、n 、q 、n a 、n S ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.例3-1.若数列}{n a 的前n 项和3132+=n n a S ,则}{n a 的通项公式是=n a .例2-2.已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列,21=a ,且2a 、4a 、8a 成等比数列.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)求数列}3{n a 的前n 项和.例2-3.设数列}{n a 的前n 项和为n S ,其中0≠n a ,1a 为常数,且1a -、n S 、1+n a 成等差数列.(1)当21=a 时,求}{n a 的通项公式;(2)设n n S b -=1,问:是否存在1a ,使数列}{n b 为等比数列?若存在,求出1a 的值;若不存在,请说明理由.。