分式的运算（一）、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π,是分式的 有: ﻩ.题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时,下列分式有意义（1）44+-x x (２)232+x x （3）122-x (4)3||6--x x(5)xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0.(1)31+-x x ﻩ （2）42||2--x x ﻩ（3)653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例４】(1）当x 为何值时，分式x -84为正; （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x为负；(3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习:1.当x 取何值时，下列分式有意义：(１）3||61-xﻩ（２）1)1(32++-x x (3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零:（1）4|1|5+--x xﻩ(2）562522+--x x x3.解下列不等式 (1)012||≤+-x x （2）03252>+++x x x(二)分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质:M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则:bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.（1)y x yx 41313221+-ﻩ （２）b a b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（１）yx yx --+-ﻩ (2）b a a ---ﻩﻩ（３）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.【例4】已知:21=-xx ,求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.(1）yx y x 5.008.02.003.0+-ﻩﻩ (2)b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ,求1242++x x x 的值.3.已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值．４.若0106222=+-++b b a a ,求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ,试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---．(三）分式的运算1．确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例１】将下列各式分别通分．(1）cb ac a b ab c 225,3,2--; (2)a b b b a a 22,--; (3）22,21,1222--+--x x xx xx x ; （4）aa -+21,2题型二：约分【例２】约分:（１）322016xy y x -； (２)n m m n --22； (３）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例３】计算:（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；2(ﻩ）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+；(3)mn mn m n m n n m ---+-+22;ﻩ ﻩ(4)112---a a a ；(5)874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；(６))5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7))12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值(1）已知：1-=x ,求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；(２）已知：432z y x ==,求22232zy x xz yz xy ++-+的值;（3)已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五:求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ,试求N M ,的值.练习：1.计算（１）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ; (2)ab ab b b a a ----222;(3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；ﻩ （４）ba b b a ++-22;（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-;ﻩ ﻩ（６）2121111x x x ++++-；（７）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x ．2.先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ．(2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.３.已知:121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时,代数式2805399++a a 的值是整数,并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：(1）3132)()(---⋅bc a ﻩ ﻩ(2)2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3)24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二:化简求值题【例２】已知51=+-x x ,求(1）22-+x x 的值；(２)求44-+x x 的值．题型三：科学记数法的计算【例3】计算:(１）223)102.8()103(--⨯⨯⨯;(２)3223)102()104(--⨯÷⨯.练习：1.计算:（１)20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅--（2）322231)()3(-----⋅n m n m （3） （４)21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x２.已知0152=+-x x ,求（1)1-+x x ，(２）22-+x x 的值.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析(提示易出错的几个问题:①分子不添括号；②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.） 题型一：用常规方法解分式方程【例１】解下列分式方程（1）xx 311=-; (２)0132=--xx ； （3)114112=---+x x x ； （4)x x x x -+=++4535题型二:特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（１）4441=+++xx x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三:求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根,求m 的值.【例５】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数,求a 的取值范围.题型四:解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x题型五：列分式方程解应用题练习：1.解下列方程:(1)021211=-++-xxx x ；ﻩ (２）3423-=--x x x ； (３）22322=--+x x x ；ﻩ (4)171372222--+=--+x x xx xx（5)2123524245--+=--x x x x ﻩ（6)41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2.解关于x 的方程: (1)bx a 211+=)2(a b ≠； (2）)(11b a xb b x a a ≠+=+.3.如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4.当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数．5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值．(二)分式方程的特殊解法解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程，可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:一、交叉相乘法例1．解方程:231+=x x二、化归法例2.解方程:012112=---x x三、左边通分法例3：解方程:87178=----x x x四、分子对等法例4.解方程:)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6.解方程:87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例１.若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。
例2．若关于x 的方程11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根,求k 的值。
例3.若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根,求k 的值。
例4.若关于x 的方程1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。