相似的综合应用学习过程一、复习预习本章知识网络图二、知识讲解考点1 相似三角形的判定方法（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．考点2 常见的相似模型1. 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“ A型”与“X型”图）2. 如图：其中/仁/ 2,则厶AD0A AB（称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）3. 如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）垂直型”）4. 如图：/仁/ 2,Z B=Z。

，则厶AD0A AB（称为“旋转型”的相似三角形。

5. 一线三角模型考点3常用方法归纳（1）总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（2）找相似：通过“横找” “竖看”寻找三角形（3）找中间比：若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上），则需要进行“转移”（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换•即：找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

①a mJ c为中间比）b n d n n②a m c m 'r ,n nb n d n③a mJ c1 1 m z' ，亠m m、r （m m , n n 或「b n d n n n（4）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

二、例题精析考点一相似三角形与简单几何图形结合问题例1、如图是小红设计的钻石形商标，△ ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC// EQ / EAC=60°, AE=1.(1)证明：△ ABE^A CBQ(2)图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比(不添加辅助线，不找全等的相似三角形)；(3)小红发现AM=MN=NC请证明此结论；(4)求线段BD的长.【规范解答】：（1）证明：•••△ ABC是等边三角形，••• AB=BC，/ BA（=Z BCA=60°. （1 分）•••四边形ACDE1等腰梯形，/ EA（=60O，••• AE=CD / AC[=Z CAE=60°，•••/ BA（+Z CAE120° =Z BCA/ AC[即/ BAE=/ BCD （2 分）在厶ABE和厶BCD中, AB=BC / BAE=/ BCD AE=CD•△ ABE^A CBD （3 分）（2）存在.答案不唯一.如△ ABN^A CDN证明：I / BAN=60° =Z DCN / AN^Z DNC•△ ANB^A CND （5 分）其相似比为：=- =2; （6分）CD 1（3）由（2）得A N=AB=2，CN CD1 1•CN=1AN=1AC, （8 分）2 3同理AM=1AC，3•AM=MI=NC （9 分）（4）作DF丄BC交BC的延长线于F, •••Z BC[=120O，•Z DC=60°. （1O 分）在Rt△ CDF中, CD=30°,1 1•CF= 1C[=1,2 2•DF= CD2CF2=：12（；）2= J ；（11 分）在Rt△ BDF中, • BF=BOCF=2+1=5, DF=-^ ,2 2 2•BA.BF2DF2= .（：）2（ 23）2=「7 . （12 分）【分析】：（1）由厶ABC是等边三角形，得AB=BC, Z BA（=Z BC/=60°,由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD / AC[=Z CAE=60°,利用“S AS'判定△ ABE^A CBQ(2)存在•可利用AB// CD或AE// BC得出相似三角形；(3)由(2)的结论得竺=空=2,即卩CN^AC，同理，得AM^AC,可证AM=MI=NCCN CD 3 3(4)作DF丄BC交BC的延长线于F,在Rt△ CDF中,由/ CD=30°, CE=AE=1,可求CF, DF,在Rt△ BDF 中，由勾股定理求BD.例2、已知：如图所示的一张矩形纸片ABC（ADAD,将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开, 折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm △ ABF的面积为24cm,求厶ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P,使得2AE=AC・AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在,请说明理由.【规范解答】：(1)证明：由题意可知OA=OC EF丄AO••• AD// BC, •••/ AE(=Z CFO / EA(=Z FCQ :. △ AOE^A COf 二AE=CF,又AE// CF,•••四边形AECF是平行四边形,••• ACL EF，二四边形AECF是菱形；(2)v 四边形AECF是菱形，二AF=AE=10cm 设AB=a , BF=b , ABF的面积为24cn i ,2 2 2••• a+b=100 , ab=48, •••( a+b) =196 , A a+b=14或a+b二-14 (不合题意,舍去), •••△ ABF 的周长为14+10=24cm（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P,点P就是符合条件的点；证明：I/ AEP=Z AO=90°,Z EA（=Z EAp•••△A CE^A AEp 二A1 = 2A°，二AE二AOAP,AP AE•••四边形AECF是菱形，• AO^AC • AE=1AC?AP,.・.2AE二AC?AP.2 2【分析】：（1）通过证明厶AOE^A COF可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC 即可证明；（2）由勾股定理得AW+FEH00, △ ABF的面积为24cm1可得，ABx BF=48;变换成完全平方式, 即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P,通过证明厶AOE^A AEP即可证明；考点二相似三角形与圆有关的综合问题例3、已知：如图，P是。

0外一点，过点P引圆的切线PC( C为切点)和割线PAB分别交。

0于A、B, 连接AC，BC．(1)求证：/ PCA M PBC(2)利用(1)的结论，已知PA=3 PB=5求PC的长.【规范解答】：（1）证明：连结OC，OA，••• OC=OA •••/ ACO== CAO••• PC是OO的切线，C为切点，••• PCL OC•••/ PCO=90，/ PCA# ACO=90 ,在厶AOC中, Z ACO£CAO£AOC=180 , vZ AOC=Z PBC ••• 2Z ACO+Z PBC=18O ,•••Z ACO Z PBC=90 ,vZ PCA+Z ACO=9°0 ，•Z PCA=Z PBC；(2) 解：I/ PCA M PBC Z CPA M BPC• △PAS A PCB=，PC2=PA?PB，PA=3，PB=5，PC==．【分析】：(1)连结OC OA先根据等腰三角形的性质得出Z ACO Z CAO再由PC是OO的切线，C为切点得出Z PCO=90 , Z PCA Z ACO=90，在△ AOC中根据三角形内角和定理可知Z ACO Z CAO Z AOC=180，由圆周角定理可知Z AOC=Z PBC故可得出Z ACO Z PBC=90，再根据Z PCA+Z ACO=9°0 即可得出结论；(2)先根据相似三角形的判定定理得出△ PAS A PCB由相似三角形的对应边成比例即可得出结论.例4、如图所示，A, B, D, E四点在。

O上，AE, BD的延长线相交于点C, AE= 8, OC= 12,/ ED G/ BAO⑴求证CD CBAC CB⑵计算CD- CB的值，并指出CB的取值范围.【规范解答】：证明：（1）I/ EDC=Z BAO / C=/ C,• △CDE^A CAB • CD CE AC CB解: ⑵•/ AE= 8, 0C= 12,• AC= 12+4= 16, CE=12-4 = 8.又..CD CE AC CB '•. CD* CB= AC • CE= 16X 8 =128.连接0B 在厶OBC中，OB= 1 AE= 4,0C=12, 2 ••• 8v BC k 16.【分析】：利用△ CDEo^ CAB可证明CD CEAC CB。