第 4 章随机信号与线性系统陈明东南大学移动通信国家重点实验室chenming@随机过程和随机信号的概念当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。

4.1 随机信号的功率谱密度确定性信号的频谱信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。

对于确定性信号，其Fourier 变换可以反映其频谱特性。

()cos2n n s t a ntp ¥==åj2ˆ()()d ftsf s t etp ¥-?=òFourier分解的物理意义各种频率成份的振动频谱与光谱进行对比光谱红橙黄绿青蓝紫频谱如何反应随机信号的频谱？由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。

4.1.1连续时间随机信号的功率谱密度若()X t 是一个定义于¡上的连续时间随机过程，则[,]T T -上的平均功率为{}21()d 2TT TP E X t tT-=ò利用Fourier 变换的Parseval 等式，可以得到()X t 在(),-ゥ上的平均功率为2j2lim 1lim ()e d d 2TTT ftTT P P E X t t fT ¥-p -?=殪镲镲犏=睚犏镲犏镲镲腩蝌从上式可以看出，下式所定义的关于频率f 的函数2j21()lim ()e d 2TftX TT S f E X t tT -p -禳镲镲=睚镲镲镲铪ò反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数()X S f 为连续时间随机过程()X t 的功率谱密度。

功率谱密度的性质性质4.1 设()X t 是定义于¡上的连续时间随机过程，()X S f 是其功率谱密度，则有如下性质： ① 功率谱密度在¡上的积分为信号总功率，也即()d X P S f f ¥-?=ò。

② ≥()0X S f ,也即()X S f 是一个非负实函数。

③ 实随机信号的功率谱密度是偶函数图4.1 实随机信号的功率谱密度是非负偶函数对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin 定理定理 4.1(Wiener-Khinchin 定理) 若()X t 为¡上的宽平稳过程，且其自相关函数()X R t 满足()R t t ¥-?òd t <?，则有j2()()e d f X X S f R tt t¥-p -?=ò证明 由功率谱密度的定义式知{}(){}{}12121212j2j21122j21212j2()1212j2()121()lim()e d ()e d 21lim()()e d d 21lim()()e d d 21lim()e 2T T ft ft X TT T T f t t TT T T f t t T T T T T f t t X TT T S f E X t t X t t T E X t X t t t TE X t X t t t T R t t T -p -p --*-p --*-p ----p ---轾轾=犏犏臌臌===-蝌ò蝌蝌12d d t t如图4.2所示，对积分区域作变换122,t t t t s =-=，则{}{}02j2j22002j2j2202j221()lim()ed d ()e d d 21lim ()e(2)d ()e (2)d 2||1lim ()e 1d 22()e T TT f f X XT TTT T f f XTT T f X TT X S f RR TRT R T TR TT R t tttttt ts t tst t t t t tt t t t --p -p ----p -p --p -¥--?=+=++-戽鳇镲镲÷ç÷=-ç睚÷÷ç镲桫镲铪=蝌蝌蝌òòj2d f ttp于是定理得证。

对于宽平稳过程，其功率谱密度是其自相关函数的Fourier 变换，因此由Fourier 逆变换公式有j2()()e d f X X R S f ft t ¥p -?=ò所以，对于宽平稳过程来讲，其自相关函数和功率谱密度是互相唯一确定的关系，一个是随机过程时域特性的反映，一个是随机过程频域特性的反映。

此外由式(4.3)知，对于宽平稳随机过程来说，平均功率为{}2(0)()()d X X R EX t S f f ¥-?==ò若()X t 为实随机过程，则其自相关函数为偶函数，即()()X X R R t t =-，则()()cos 2d X X S f R f t t t ¥-?=p ò例4.1 试求Poisson 随机电报过程的功率谱密度。

解 由习题2B-73可知，Poisson 随机电报过程为宽平稳过程，其自相关函数为2||()e X R a t t -=，其中a 是信号平均传输速率。

由Wiener-Khinchin 定理知其功率谱密度为2j22j20()ee d e e d 1142j22j244f f X S f f f f a t ta t tt ta a a a ¥-p --p -?=+=+=-p +p +p 蝌例4.2 设()X t 是定义在¡上的实随机过程，其功率谱密度为()X S f 。

则()X t 的解析过程()()j ()Z t X t X t =+(的功率谱密度为()4()()Z X S f S f U f =其中()U f 为Heavyside 函数。

解 由习题3B-39和例3.29知，()Z t 的自相关函数为()2()j ()Z XXX R R R t t t 轾=+臌(对其作Fourier 变换，由()()()jsgn()()X XXX S f S f H f f S f ==-(知()4()()Z X S f S f U f =所以，解析过程没有负功率谱密度。

例4.3 试求随机相位余弦信号0()cos(2)X t a f t Q =p +的功率谱密度()X S f ，其中Q 是(,)-p p 上的均匀分布。

解 由例2.72知，()X t 为平稳过程，且其自相关函数为20()cos22X R f a t t =p则其功率谱密度为002j2022j2()j2()2200()cos 2e d 2e d e d 44()()44f X f f f f a S f f a a a a f f f f tt tt t t td d ¥-p -?ゥ-p --p +-??=p =+=-++ò蝌其中，用到了常数1的Fourier 变换是d 函数的性质。

由此可见，随机相位余弦信号()X t 的功率集中于频点0f ±。

例4.4(白噪声过程) 如图4.3所示，若宽平稳随机过程()W t 的功率谱密度在任意频点上是常数，即0()/2W S f N =，则称()W t 为白噪声过程,由Wiener-Khinchin 定理知其自相关函数为()()2W N R t d t =若宽平稳随机过程()X t 的功率谱密度为≤0,2()0,X N f w S f f wìïïï=íïï>ïî其中w 为某个正常数，则称()X t 为带限白噪声过程。

该过程的平均功率为{}200()d 2wwN EX t f N w -==ò自相关函数为00j2sin(2)()e d 22w f X w N w N R f tt t tp -p ==p ò由上式可见，当/(2),1,2,k w k t =?L 时，()X t 和()X tt +互相正交。

图4.3 白噪声和带限白噪声的功率谱密度互功率谱若()X t 和()Y t 是两个随机过程，和随机信号功率谱密度的定义类似，可以定义()X t 和()Y t 的互功率谱密度为{}j2j21()lim ()e d ()e d 2TTftftXY T TTS f E X t t Y t tT *-p -p --轾轾=犏犏臌臌蝌和Wiener-Khinchin 定理的证明类似，若()X t 和()Y t 为两个联合宽平稳的随机过程，且()d XY R t t t ¥-?<?ò，则有j2()()e d f X Y X Y S f R tt t ¥-p -?=òj2()()e d f X Y X Y R f S f t t ¥p -?=ò式中，()XY R f 为()X t 和()Y t 的互相关函数。

此外，还可以证明互功率谱密度具有以下性质。

性质4.2① ()();XY Y X S f S f *=② ≤2()()()XY X Y S f S f S f 。

证明作为练习。

例4.5 设()X t 和()Y t 是两个联合宽平稳过程，试给出()()()Z t X t Y t =+的功率谱密度。

解()Z t 的自相关函数为{}{}()()()()()()()()()()()Z X Y X X Y Y R E Z t Z t E X t Y t X t Y t R R R R t t t t t t t t **=+轾轾=++++臌臌=+++因此，()Z t 的功率谱密度为()[]j2()()()()()e d ()()()()()()2Re ()f Z X Y X X Y Y X Y X X Y Y X Y X Y S f R R R R S f S f S f S f S f S f S f tt t t t t¥-p -?=+++=+++=++ò在信号分析中，常常要讨论两个联合宽平稳随机过程的和，从上述表达式可以看出，互相关函数及互功率谱密度的概念的引进是必需的。

例4.6 设联合平稳的两个随机过程()X t和()Y t 的互功率谱密度为１+2其他j ,1/21/2()0,XY f f S f 靝-p <<p ïï=íïïî则互相关函数为1/2j21/22()(1j2)e d (sin cos )sin f X Y R f ft t t t t t t pp -p=+p +-=p ò4.1.2 离散时间随机信号的功率谱密度信号的频率刻画了信号变化的快慢，因而对于离散时间随机过程，只有指定了离散时间的绝对时间间隔T，功率谱密度才有意义。