2.2 序列的傅立叶变换
2.2.1 离散时间傅里叶变换 (DTFT)定义
序列x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)定义为：
周期、连续
X (e jω ) = DTFT[ x(n)] =
n =−∞
∑
∞
x(n)e − jωn
绝对可和
− jω n
序列x(n) DTFT存在的充分条件
n = −∞
∑
∞
x ( n )e
∫
∞
−∞
x a ( t ) dt < ∞
xa(t)的傅立叶变换：
X a ( jΩ ) =
∫
∞ −∞
xa (t )e
− jΩ t
dt
Xa (jΩ)是Ω 的连续函数，称为信号xa(t)的频谱密度， 简称频谱。
X a(jΩ)的傅立叶反变换：
1 xa (t ) = 2π
∫
∞
−∞
X a ( j Ω )e jΩt d Ω
k =−∞
jω ( n − k )
=e
令
jω n
k =−∞
∑ h ( k )e
∞ n = −∞
∞
− jω k
H (e ) =
jω
∑ h ( n )e
− jωn
则
y (n) = e
H (e ) =
jω
jωn
H (e )
频率响应
− jω n
jω
n =−∞
∑ h ( n )e
∞
系统的输出包含了和输入同频率的正弦，但受到一 复函数的调制。该复函数称为系统的频率响应，描述了 复指数序列通过系统后幅度和相位的变化，在系统分析 和综合中起到重要的作用。
π
{
证明：
1 2π
∫π
−
π
1 jω jω n X (e )e d ω = 2π
∞
∫ π ( ∑ x ( m) e
− m =−∞
π
∞
− jω m
)e
jω n
dω
1 = ∑ x(m)( 2π m =−∞
∫ πe
−
π
jω ( n − m )
dω )
1 2π
1 2π
π
−
∫π
−
π
e
jω ( n − m )
dω = 1, 0
共轭对称序列的特点： 写成实部虚部：xe (n) = xer (n) + j xei (n) 则：xe* (-n) = xer (-n) – j xei (-n)
有：xer (n) = xer (-n) xei (n) = - xei (-n)
实部为偶函数 虚部为奇函数
共轭对称序列的实部为偶函数，虚部为奇函数 共轭对称的实序列称为偶序列 例：x(n)=ejωn 的对称性。 共轭反对称序列： 若序列满足：
DTFT ax1 ( n) + bx2 ( n) ←⎯⎯ → aX 1 ( e jω ) + bX 2 频移/调制 （Time shifting and frequency shifting）
x (n − n0 ) ←⎯⎯ →e
DTFT
− jω n0
X ( e jω )
xo (n) = − x (−n) 则称共轭反对称序列
* o
共轭反对称序列的特点：
若： xo(n) = xor (n) + j xoi (n) 则：- xo*(-n) = - xor (-n) + j xoi (-n) 有：xor (n) = - xor (-n) xoi (n) = xoi (-n) 实部为奇函数 虚部为偶函数
∞
∑
∞
x ( m)
n =−∞
∑
∞
n =−∞ m =−∞
− jω n [ x ( m ) h ( n − m )] e ∑ ∑
∞
∞
h(n − m)e − jω n
jω
m =−∞
∑ x ( m) H ( e
∞ m =−∞
)e
− jω m
DTFT 时移性
= H (e jω ) ∑ x(m)e − jω m
由 X(e jω) 确定每一个复正弦分量相对大小 -π ～ π：|ω|越大，频率越高；越接近0，频率越低 -π ～ π可换成任意的2π区间 称 x(n) 和 X(e jω)构成了DTFT变换对
2.2.2 离散时间傅立叶变换(DTFT)的性质
1、 周期性(Periodic)
∞
Χ (e ) =
jω
n = −∞
= H (e jω ) X (e jω )
b)频域卷积定理（调制定理，加窗定理） 若
y ( n) = x ( n) h( n)
jω
则
1 Y (e ) = Χ ( e jω ) ∗ H ( e jω ) π 2 ∞ 证明：Y (e jω ) = ∑ x( n) h( n)e − jω n h(n)
1 = ∑ x ( n) [ 2π n =−∞
− jω n
≤
n = −∞
∑
∞
x(n) e
=
n = −∞
∑
∞
x(n) < ∞
关于DTFT存在的几点说明
1、一个稳定的序列是绝对可和的，因此稳定的序列都 有DTFT，从而任何稳定的系统都有有限且连续的频率 响应; 2、任何有限长序列都是绝对可和的，都有DTFT； 3、不是绝对可和而是平方可和的序列也有DTFT; 4、既不满足绝对可和也不满足平方可和的序列，只有 在频域引入冲激函数后，才可以有傅里叶变换。
∑
x(n) e
n − j (ω + 2π M ）
, M为整数
只分析一个周期内的DTFT即可。 通常取
− π ≤ ω ≤ π 或 0 ≤ ω ≤ 2π
Χ(e jω ) 可看成x(n)在e -jωn 上的投影，
0和2π附近表示信号的低频成分， ± π附近表示信号的高频成分
2、线性 （Linearity）
n
DTFT存在的绝对可和条件为
a >1
例 设x(n)=RN (n)， 求 x(n)的DTFT。
X (e ) =
jω
− jω N /2 1 − e − jω N e ( e − e ) = = − jω N /2 jω /2 − jω /2 − jω 1− e e (e −e )
n =−∞
∑
∞
RN (n)e
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶表示式 2.4 序列的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变 换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性
2.1 引言
一、连续周期信号的傅里叶级数 设x(t)是一周期信号，其周期为T，若x(t)在一个周 期内能量有限
DTFT
∗
(e ) = X (e )
jω − jω
6、频域微分(Differentiation in frequency)
nx ( n ) ←⎯ → j
d Χ (e dω
jω
d Χ ( e jω ) dω
dω
j
)=
j
d ( ∑ x ( n ) e − jω n )
−∞
∞
= j ∑ ( − jn ) x ( n ) e − jω n
代表了x(t)中第k次谐波的幅度。Ω0=2π/T。 注意： 傅立叶系数 X(kΩ0) 是第k次谐波的系数，所以X(kΩ0) 在频率坐标轴上是离散的，间隔是Ω0。 时域连续周期 频域非周期离散
A
x (t )
0
L
T
−τ 2 τ 2
L
T
t
X (k Ω0 )
k Ω0
二、连续非周期信号的傅里叶变换 非周期连续信号xa(t)，假设其绝对可积：
− jω n
n=0 − jω N /2 jω N /2
=∑ e
N −1
− jω n
sin(ω N / 2) − j ( N −1)ω /2 e = sin ω / 2
jω
sin(2ω ) 设N=4， X ( e ) = sin(ω / 2) 3 ⎢ ω ⎥ jω −π ≤ arg[ X (e )] = ⎢ π − ω≤π ⎥ 2 ⎣π / 2 ⎦
1 = X (e jω ) ∗ H (e jω ) 2π
8、帕斯维尔定理（Parseval’s Theorem）
2 1 π jω E = ∑ x ( n) = ∫−π X ( e ) d ω n =−∞ 2π ∞ 2
时域总能量等于频域总能量。
9、 DTFT的对称性质
(1) 共轭对称序列定义
* 若序列满足： xe (n) = xe (−n) 则称共轭对称序列
连续信号可表示为具有不同角频率的复指数信号的 组合。xa(t)的频谱Xa(j Ω) 描述了这些复指数信号的振 幅和初相位。 时域连续非周期 频域非周期连续
A x (t )
−
τ
2
0τ
2
Ω
考虑输入为复指数序列时系统的输出 令输入 输出
x ( n) = e
y ( n) =
∞
jω n
∞
k =−∞
∑ h ( k ) x ( n − k ) = ∑ h ( k )e
例 求 x ( n ) = a u ( n ) DTFT存在的绝对可和条件
n
解： X ( e jω ) =
n − jω n a ∑ e = n=0
∞
− jω n ( ae ) ∑ n=0
− jω
∞
1 = 1 − ae − jω
ae
< 1 即 a <1