高中数学1.1.1变化率问题课时作业（含解析）新人教A 版选修
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知识点一 函数的平均变化率
1.当自变量从x 0变到x 1(x 0<x 1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的导数
D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 答案 A
解析 由平均变化率的定义，可知当自变量从x 0变到x 1(x 0<x 1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x 0，x 1]上的平均变化率．
2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2
，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt ＋4 C ．2Δt －4 D ．－2Δt －4
答案 D
解析 Δs Δt ＝4－21＋Δt 2
－4＋2×12
Δt ＝
－4Δt －2Δt 2
Δt
＝－2Δt －4.
3．函数f (x )＝x 2
－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．4
答案 B
解析 由已知得m 2－1－12－1m －1
＝3，∴m ＋1＝3，
∴m ＝2.
知识点二 平均变化率的应用
4.将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( ) A ．8πR ·ΔR
B ．8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2
C ．4πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2
D ．4π(ΔR )2
答案 B
解析 ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2
－4πR 2
＝8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2
.
5．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )在[－2,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在[－2,3]上的平均变化率为________．
答案 23 45
解析 从题图中可以看出f (－2)＝－1，f (1)＝1，f (3)＝3，所以函数f (x )在[－2,1]上的平均变化率为f 1－f －2
1－－2
＝
1－－13＝2
3
；函数f (x )在[－2,3]上的平均变化率为
f 3－f －2
3－－2＝3－－15＝4
5
.
6．求函数y ＝x 3
从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变
化率的值．
解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为
Δy Δx
＝f
x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝
x 0＋Δx 3
－x 3
Δx
＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当x 0＝1，Δx ＝12
时平均变化率的值为3×12
＋
3×1×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝194
.
一、选择题
1．已知函数y ＝f (x )＝x 2
＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44
答案 B
解析 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12
－22
＝0.41. 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
答案 B
解析 平均变化率为1－3
3－1
＝－1.
3．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2
答案 C
解析 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝2a ＋b －a ＋b
2－1＝a ＝3.故选C.
4．已知函数y ＝f (x )＝2x 2
的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 的值
为( )
A ．4
B ．4x
C ．4＋2Δx 2
D ．4＋2Δx
答案 D 解析 Δy Δx
＝
21＋Δx 2
－2×1
2
Δx
＝4＋2Δx .
5．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，
t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( )
A.v 1>v 2>v 3
B.v 3>v 2>v 1
C.v 2>v 1>v 3
D.v 2>v 3>v 1 答案 B 解析
v 1＝
s t 1－s t 0
t 1－t 0
＝k OA ，v 2＝
s t 2－s t 1
t 2－t 1
＝k AB ，v 3＝
s t 3－s t 2
t 3－t 2
＝k BC ，由图象知k OA <k AB <k BC .选B.
二、填空题
6．质点运动规律s ＝12gt 2
，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________．(g ＝
10 m/s 2
)
答案 30＋5Δt
解析 Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2
，v ＝
Δs
Δt
＝30＋5Δt . 7．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录：9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒．那么在后50米他的平均速度是________米/秒．(最后结果精确到0.01)
答案 11.93
解析 Δs ＝100－50＝50，Δt ＝9.69－5.50＝4.19，v ＝Δs
Δt ≈11.93米/秒．
8．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s ＝s 1(t )，s ＝s 2(t )，图象如图，则在时间段[0，t 0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)．
答案 小于
解析 由图象知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，所以s 1t 0－s 10t 0<s 2t 0－s 20
t 0
，
即v 甲<v
乙．
三、解答题
9．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120
t ＋5
＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解 (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为
T (0)＝
1200＋5＋15＝39，T (10)＝120
10＋5
＋15＝23， 故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率为
T 10－T 0
10＝－16
10
＝－1.6.
它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
10．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？
解 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均
变化率为h BC ＝Δy Δx ＝20－1070－50＝1
2，∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．。