7.1，6.5，7.4，6.35，6.8，7.25，6.6，7.8，6.0，5.95 （1）计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。

（2）求出该组数据对应的标准化值； （3）计算其偏度。

解75.6795.55.61.7101=+++=∑= i i x ，n =10 =+++=∑=222101295.55.61.7 i i x 462.35 样本均值775.61075.6711===∑=n i i x n x 方差)(111222∑=--=n i i x n x n S 371.0)775.61035.462(912=⨯-=标准差2S S ==371.0≈0.609标准误193.040609.0===n S S x 变异系数CV =%100||⨯x S=%100775.6609.0⨯=8.99%； （2）对应的标准化值公式为609.0775.6-=-=i i i x S x x u 对应的标准化值为0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355； （3）33)2)(1()(S n n x x n S i k ---=∑=0.204 2．用事件A 、B 、C 表示下列各事件： （1）A 出现，但B 、C 不出现； （2）A 、B 出现，但C 不出现； （3）三个都出现； （4）三个中至少有一个出现； （5）三个中至少有两个出现；（6）三个都不出现； （7）只有一个出现； （8）不多于一个出现； （9）不多于两个出现。

解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC （4）ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ++++++ 或A +B +C 或C B A -Ω （5）ABC BC A C B A C AB +++ （6）ABC 或Ω－(A +B +C )或C B A ++（7）ABC ABC ABC ++ （8）ABC ABC ABC ABC +++ （9）BCA CB AC AB C B A C B A C B A C B A ++++++ 或Ω－ABC 或ABC7．某大学学生中近视眼学生占22%，色盲学生占2%，其中既是近视眼又是色盲的学生占1%。

现从该校学生中随机抽查一人，试求：（1）被抽查的学生是近视眼或色盲的概率；（2）被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率。

解：设 A ={被抽查者是近视眼}，B ={被抽查者是色盲}； 由题意知，P (A )=0.22，P (B )= 0.02，P(AB )= 0.01，则 （1）利用加法公式，所求概率为P (A+B )=P (A )+P (B )－P (AB )=0.22+0.02－0.01=0.23；（2）所求概率为P (B A )=P (B A +)=1－P (A +B )=1－0.23 =0.77。

注意：上述计算利用了德·摩根对偶律、对立事件公式和（1）的结果。

12．某种动物活到12岁的概率为0.8，活到20岁的概率为0.4，问现年12岁的这种动物活到20岁的概率为多少？解：设A ={该动物活到12岁}，B ={该动物活到20岁}；由题意知P (A )=0.8，P (B )=0.4显然该动物“活到20岁”一定要先“活到12岁”，即有B ⊂A ，且AB =B ，则所求概率是条件概率5.08.04.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P 。

18．在某地供应的某药品中，甲、乙两厂的药品各占65%、35%，且甲、乙两厂的该药品合格率分别为90%、80%，现用A 1、A 2分别表示甲、乙两厂的药品，B 表示合格品，试求：P (A 1)、P (A 2)、P (B |A 1)、P (B|A 2)、P (A 1B )和P (B )。

P (A 1)=0.65，P (A 2)=0.35，P (B |A 1)=0.9，P (B|A 2)=0.8，P (A 1B )= P (A 1)P (B |A 1)= 0.65×0.9=0.585，P (B )= P (A 1)P (B |A 1)+ P (A 2)P (B |A 2) =0.65×0.9+0.35×0.8=0.865。

5．设随机变量X 的分布列为X -2 0 2 P0.40.30.3试求：E (X )，E (X 2)，E (3X +5)，D (X )，D (3X +5)。

解：E (X )=2.03.023.004.0231-=⨯+⨯+⨯-=∑=k k k p x ；E (X 2)=8.23.023.004.02222312=⨯+⨯+⨯-=∑=）（k k k p x；E (3X +5)= 3 E (X )+5=3×(﹣0.2)+5=4.4；D (X )=E (X 2)－[E (X )]2=2.8－(﹣0.2)2=2.8－0.04=2.76； D (3X +5)=9 D (X )=9×2.76=24.84。

7．设随机变量X 的概率分布P (X =k ) =Na, k =1, 2,… ,N ；试确定常数a ，共计算E (X )及D (X )。

解：因 11===+++=∑=a N aN N a N a N a p Nk k ，故a =1。

E (X )=212)1(111111+=+===∑∑∑===N N N N k N N k p x N k Nk kN k k ； E (X 2)=6)12)(1(111121212++===∑∑∑===N N N N k N N k p x N k Nk k N k kD (X )=E (X 2)－[E (X )]2=121)21(6)12)(1(22-=+-++N N N N9. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010 ,)(x Cx x f 试求：（1）常数C ；（2）X 落在（0.3，0.7）内的概率；（3）分布函数F (x )；（4）E (X )。

解：（1）⎰+∞∞-dx x f )(12]2[10210==⋅==⎰Cx C Cxdx , 故C=2。

（2）4.03.07.0][d 2)d (}7.0{0.3227.03.0 7.03.02.70 .30 =-====<<⎰⎰x x x x x f X P（3）当x <0时，0d 0)d ()( ===⎰⎰∞-∞-xxx x x f x F ；当0≤x <1时，2020][d 2d 0)d ()(x x x x x x x f x F xxx==+==⎰⎰⎰∞-∞-；当x ≥1时，1][d 0d 2d 0)d ()(10102 10 ==++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-x x x x x x x f x F xx 。

即 X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1 ,11 0 ,0,0)(2x x x x x F④32]32[2)()(10103=⋅=⋅==⎰⎰∞+∞-x xdx x dx x xf X E 。

15．某地胃癌的发病率为0.01％，现普查5万人，试求（1）没有胃癌患者的概率；（2）胃癌患者少于5人的概率。

解：设X 为胃癌患者人数，则X 服从二项分布B (50000，0.0001)。

因为n =50000很大，而p =0.0001非常小，λ=np =50000×0.0001=5，故可利用泊松近似公式进行计算。

(1) 所求概率：P {X =0}=0.999950000≈λλ-e !00=e -5=0.00674（2）所求概率为：P {X <5}=1－P{X ≥5}=1－k k k k C-=∑5000050000550000)9999.0()0001.0(4405.05595.01!515500005=-=-≈-=∑e k k k 。

30．已知D (X )=25，D (Y )=36，ρXY =0.4，试求D (X +Y )和D (X －Y ）。

ρ XY =()()()Y D X D Y X ,Cov ， 又已知D (X )=25，D (Y )=36，ρXY =0.4。

则 ()()()1236254.0,Cov =⨯==Y D X D Y X XY ρ故 ()()()()851223625,Cov 2=⨯++=++=+Y X Y D X D Y X D()()()()371223625,Cov 2=⨯-+=-+=-Y X Y D X D Y X D1．总体X ～N (μ, σ 2)，其中μ未知，σ 2为已知参数，X 1，X 2，…，X n 是从总体抽取的一组样本，则下列各式中哪些属于统计量？()()()()()()()()()()().16 ;315;14;3; 2 ;112232122222112112∑∑∑∑====++++++---ni in ni ini ni ii XX X X X X X n X XXX σμμσ解：因为μ是未知参数，σ 2为已知参数，故 （1）、（3）、（4）、（6）是统计量，而（2）()∑=-ni i X 1μ和（5）()321231X X X +++μ均含有未知参数μ，不属于统计量。

2．设对总体X 得到一个容量为10的样本值：4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0. 3.5, 4.0。

试求样本均值x 、样本方差S 2和样本标准差S 。

公式：（1）360.40.25.4101=+++=∑= i i x ，n =10=+++=∑=2221012425.4 i ix155.5样本均值6.3103611===∑=n i i x n x样本方差 )(111222∑=--=ni i x n x n S 878.2)6.3105.155(912=⨯-= 样本标准差2S S ==88.2≈1.697。

解：（1）因总体X ～ N (μ, 1)，则X i ～ N (μ, 1)，i =1, 2。

μμ+=+=+=3231)(32)(31)3231()ˆ(21211X E X E X X E Eμμ+=+=+=41)(43)(41)4341()ˆ(21212X E X E X X E Eμμ+=+=+=21)(21)(21)2121()ˆ(21213X E X E X X E E因此，321ˆˆˆμμμ，，都是μ的无偏估计量。

（2）191)(94)(91)3231()ˆ(21211+⨯=+=+=X D X D X X D D μ161)(169)(161)4341()ˆ(21212⨯=+=+=X D X D X X D D μ21141141)(41)(41)2121()ˆ(21213=⨯+⨯=+=+=X D X D X X D D μ312ˆˆˆ()()()D D D μμμ<<由于，3ˆμ所以最有效。