y
C
4
B
2
-1 O
2A 4
x
>
F
-2
P
-4
E
D
}
答案篇 (2014 年昆明) 23.
(
（2013 年昆明）23
23．（9 分）（2013•昆明）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半 轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O， A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N 为顶点的四边形是平 行四边形若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
,
,
"
（2012 年昆明）23（. 本小题 9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y 1 x 2 3
交 x 轴于点 P ，交 y 轴于点 A ，抛物线 y 1 x2 bx c 的图象过点 E(1,0) ， 2
并与直线相交于 A 、 B 两点. ⑴ 求抛物线的解析式（关系式）；
—
⑵ 过点 A 作 AC AB 交 x 轴于点 C ，求点 C 的坐标； ⑶ 除点 C 外，在坐标轴上是否存在点 M ，使得 MAB 是直角三角形若
答案：解：（1）设 AC=4x，BC=3x，在 Rt△ ABC 中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴ AC=8cm，BC=6cm；
}
（2）①当点 Q 在边 BC 上运动时，过点 Q 作 QH⊥AB 于 H，
∵ AP=x，∴ BP=10﹣x，BQ=2x，∵ △ QHB∽ △ ACB，
（
AO2 CO OP CO AO2 22 2 OP 6 3
∴点 C 的坐标： C( 2 , 0) 3
⑶ 设除点 C 外，在坐标轴上还存在点 M ，使得 MAB 是直角三角形 Ⅰ.在 RtMAB 中，若 AMB Rt，那么 M 是以 AB 为直径的圆与坐
标轴的交点，
ⅰ.若交点在 y 上（如图），设 M (0, m) ，则
AC 解析式，与抛物线解析式联立即可求出 D 的坐标；
（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形 ADMN 为平行四边形时，
DM∥ AN，DM=AN，由对称性得到 M（3， ），即 DM=2，故 AN=2，根据 OA+AN 求
出 ON 的长，即可确定出 N 的坐标；当四边形 ADM′N′为平行四边形，可得三角形 ADQ 全等于三角形 N′M′P，M′P=DQ= ，N′P=AQ=3，将 y=﹣ 代入得：﹣ =﹣ x2+3x，求
,
（1）求点 C 的坐标； （2）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （3）直线 l⊥x 轴，若直线 l 由点 A 开始沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速度匀 速向右平移，设运动时间为 t（0≤t≤5）秒，运动过程中直线 l 在△ ABC 中所扫
|
>
：
￥
（云南省 2013 年）23．（9 分）如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，下底 AB 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，直线 AC 与 y 轴交于点 E（0，1），点 C 的坐标为（2，3）． （1）求 A、D 两点的坐标； （2）求经过 A、D、C 三点的抛物线的函数关系式； （3）在 y 轴上是否在点 P，使△ ACP 是等腰三角形若存在，请求出满足条件的所有点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由．
考 二次函数综合题．
点：
(
综合题．
专
题：
分 （1）由 OA 的长度确定出 A 的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶
析： 点形式 y=a（x﹣2）2+3，将 A 的坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b，将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线
∴ N1（2，0），N2（6，0）； ②当点 M 在 x 轴下方时，如答图 2 所示：
过点 D 作 DQ⊥x 轴于点 Q，过点 M 作 MP⊥x 轴于点 P，可得△ ADQ≌ △ NMP，
∴ MP=DQ= ，NP=AQ=3，
{
将 yM=﹣ 代入抛物线解析式得：﹣ =﹣ x2+3x，
解得：xM=2﹣ 或 xM=2+ ， ∴ xN=xM﹣3=﹣ ﹣1 或 ﹣1， ∴ N3（﹣ ﹣1，0），N4（ ﹣1，0）． 综上所述，满足条件的点 N 有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣ ﹣1，0）， N4（ ﹣1，0）． 点 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次 评： 函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识 点的探究型试题．
y
A
P
.
|
O
Bx
Q
C
…
《
（2013 年昆明）23.（本小题 9 分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xoy 中， 点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的顶点 在 BC 边上，且抛物线经过 O、A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点 A、D、M、N 为顶点 的四边形是平行四边形若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。
否存在这样的点 P，过点 P 作⊙M 的切线 l ，且 l 与 x 轴的夹角为 30°， 若存在 ，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意 ：本题 中的 结果可保留根号）
(
[
@
（云南省 2010 年）24.（本小题 12 分）如图，在平面直角示系中，A、B 两点的 坐标分别是 A（-1,0）、B（4,0），点 C 在 y 轴的负半轴上，且∠ ACB＝90°
（2012 年昆明）23.
[答案] ⑴ y 1 x2 3 x 2 ； ⑵ C( 2 , 0) ；
22
3
⑶ (0, 7) 、或 (11 65 , 0) 、或 (11 65 , 0) 、或 (92 , 0)
9
6
6
27
⑴ 如图，因为一次函数
y
1 3
x
2
交
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
轴于点
A
，所以，
xA
0
，
yA 2 ，即 A(0, 2) .
有，
m yB(B点的纵坐标)
y y
1 3 1 2
x2 x2 3
2
x
2
B(11 3
,
7 9
)
M (0, 7) 9
m 7 ， 此 时 9
ⅱ.若交点在 x 上（如图），设 M (n,0) ，此时
过 B 作 BD垂直 x 于点 D ，则有 AOM MDB ，于是：
AO OM OM MD AO DB MD DB
（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b（k≠0），
将 A（4，0）与 C（0，3）代入得：
，
解得：
，
故直线 AC 解析式为 y=﹣ x+3，
与抛物线解析式联立得：
，
解得：
或
，
则点 D 坐标为（1， ）；
,
（3）存在，分两种情况考虑： ①当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示：
四边形 ADMN 为平行四边形，DM∥ AN，DM=AN， 由对称性得到 M（3， ），即 DM=2，故 AN=2，
(7)2 (11 t)(6 11) t 92 ，此时， M (92 , 0)
93
3
27
27
综上所述，除点 C 外，在坐标轴上还存在点 M ，使得 MAB 是直角三
角形，满足条件的点 M 的坐标是：(0, 7) 、或 (11 65 , 0) 、或 (11 65 , 0) 、
9
6
6
或 (92 , 0) . 27 （2011 年昆明）25
题目篇
(2014 年 昆 明 ) 23. （ 本 小 题 9 分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y ax2 bx 3(a 0) 与 x 轴交于点 A（ 2 ，0）、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度向 C 点运动。其中一个点到达终点时， 另一个点也停止运动。当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积 是多少 （3）当△PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使 S△CBK：S△PBQ 5 : 2 ， 求 K 点坐标。
；
^
（云南省 2014 年）23（. 9 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，矩形 ABCO 的顶点分别为 A（3,0）、B（3,4）、C（0,4），点 D 在 y 轴上，且点 D 的坐标为 （0，-5），点 P 是直线 AC 上的一个动点。
》
（1）当点 P 运动到线段 AC 的中点时，求直线 DP 的解析式； （2）当点 P 沿直线 AC 移动时，过点 D、P 的直线与 x 轴交于点 M。问：在 x 轴的正半轴上，是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点 M 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。
￥
（4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使△ BCM 得周长最小，若存 在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
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