《双曲线的标准方程》教学设计
第一课时
◆教学目标
1. 掌握双曲线的定义，提升学生的数学抽象素养．
2.掌握双曲线的标准方程的推导过程，提高学生的数学运算素养．
◆教学重难点
◆
教学重点：双曲线的定义及其标准方程．
教学难点：双曲线标准方程的推导过程．
◆课前准备
PPT课件．
◆教学过程
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.
预设的答案：（1）本节课主要学习双曲线的标准方程第一课时．（2）学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高．如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章．所以说本节课的作用就是纵向承接双曲线定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用．
设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、探索新知
1、探究新知
问题2：如图所示，某中心O 接到其正西、正东、正北方向三个观测点A ，B ，C 的报告： A ，C 两个观测点同时听到一声巨响，B 观测点听到的时间比A 观测点晚4s ，已知各观测点到该中心的距离都是1020m ，假定当时声音传播的速度为340m /s ，且A ，B ，C ，O 均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？
师生活动：学生充分思考，并鼓励学生尝试给出答案．
设计意图：通过实际问题，引导思考，引出双曲线的定义．发展学生数学抽象，直观想象的核心素养．
上述情境中，因为观测点A 与C 同时听到响声，说明P 一定在AC 的垂直平分线上;因为观测点B 听到的时间比观测点A 晚4s ，这说明P 距离B 更远，而且13603404||||=⨯=-PA PB ，那么，满足上式的点P 可能的位置有哪些呢?这与本小节我们要讨论的双曲线有关．
一般地:如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，
其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.另外，可以看出，双曲线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．
问题3：你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？
师生活动：教师提示，学生自己尝试画出双曲线．
预设的答案:画法：
如图①所示，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2
上，把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换，如图②所示，类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.
设计意图：通过具体的操作，让学生更加清楚双曲线的形成过程．
问题3：这种作双曲线的方法，请问双曲线上的点到两定点21,F F 的距离有何特点? 师生活动：通过实践操作，学生自己总结答案．
预设的答案:可以看出拉链M 到21,F F 的距离的差的是一个常数．
设计意图：通过观察实践．让学生自己总结结论，发展学生直观想象，数学抽象的核心素养．
问题4：怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？
师生活动：学生充分思考，并由学生在练习本上写出过程，展台展示．
预设的答案：以21,F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为
y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设双曲线的焦点分别为
)0,(),0,(21c F c F -．
设P 的坐标为),(y x ，因为a PF PF 2||||||21=-，而且
221)(||y c x PF ++=，222)(||y c x PF +-=，所以+
++22)(y c x a y c x 2)(22±=+-， ①
由①得a y c x y c x y c x y c x 2)()(]
)[()(22222222±=+-++++--++
整理得x a c y c x y c x 2)()(2222±=+-+++，②
①+ ②整理得)()(22x a
c a y c x +±=++，③ 将③式平方再整理得22222
22)(a c y a
x a c -=-- ④
因为0>>a c ，所以22a c >，设222b a c =-，且0>b ，则④式可化为
的双曲线的标准方程．
设计意图：类比双曲线的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程．发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养．
三、初步应用
例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程．
两个焦点分别是)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上的点P 到两焦点的距离之差的绝对值为8；
师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．
预设的答案：由已知得82=a ，因此4=a ，又因为5=c ，所以9222=-=a c b ，因
为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求的双曲线的标准方程为19
162
2=-y x 设计意图：通过典例解析，，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法．发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．
四、归纳小结，布置作业
问题5：（1）什么是双曲线？焦点？焦距？
（2）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：（1）如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，
则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，
其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.
（2
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解双曲线的标准方程的有关知识． 布置作业：教科书上的练习题
五、目标检测设计
1．“11m -<<”是“方程22
112
x y m m +=+-表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
设计意图：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义是解决本题的关键．
2．若方程22
1625x y k k
+=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．(5,10)
B ．(3,5)
C ．(6,)+∞
D ．,35),()(∞⋃+∞-
设计意图：考查学生双曲线的定义的认识． 3．过点(1，
1)，且b a
=x 轴上的双曲线的标准方程是（ ） A ．2
2112
x y -=
B ．22112y x -=
C ．2
211
2y x -= D ．22112x y -=或22112
y x -= 设计意图：考查学生对双曲线的标准方程的求法．
参考答案：
1．【答案】A 若方程22
112
x y m m +=+-表示双曲线， 则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，
则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，
“11m -<<”是“方程22
112
x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ．
2．【答案】B 方程22
1625x y k k
+=--表示焦点在y 轴上的双曲线 所以50620k k ->⎧⎨-<⎩
，即35k << 故选：B
3．【答案】D
由b a
=，知：222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a
-=，将点(1，1)代入可得212a =，则双曲线方程为2
211
2
x y -=. 故选：A。