第三讲 立体几何（文）
一、 知识网络
二、基础练习：
1、下列命题中正确的是（ ）
Ａ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 Ｂ．棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面
Ｃ．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 Ｄ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
2、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。
3、.已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的平面直观图△C B A '''的面积为( )
A.
4
3a 2
B.
8
3a 2
C.
8
6a 2
D.
16
6a 2 4、 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ ） A 、9π B 、10π C 、11π D 、12π
直线、
平面、
简单几何体三个公理、三个推论
平面
平行直线
异面直线
相交直线 公理4及等角定理 异面直线所成的角
异面直线间的距离
直线在平面内 直线与平面平直线与平面相空间两条直
概念、判定与性质 三垂线定理 垂斜直线与平面所成的角
空间直线 与平面
空间两个平面
棱柱 棱锥 球
两个平面平行
两个平面相
交 距离
两个平面平行的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质
二面角
定义及有关概念
性质 综合应用
多面体
面积公式 体积公式 正多面体
5、如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为( )
A ．43
B ．4
C ．23
D ．2
6、下列命题中错误的是( )
A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
7、给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④
8、设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
9、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（ ）
（A ）
1010 (B) 1
5
(C) 31010 (D) 3
5
A B
C D
E F
H
三、典型例题例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，
BF=FC,H 为BC 的中点，
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；
例2：如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥
（Ⅰ）证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ；
（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//A B 平面1B CD ，求11:A D DC 的值.
例3、 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
例4、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120,E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ’DE ，使平面A ’DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ’C 的中点。
（Ⅰ）求证：BF ∥平面A ’DE ；
（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ’DE 所成角的余弦值。
例5：如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA ． （I ）求证：CD=C 1D ：
（II ）求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值； （Ⅲ）求点C 到平面B 1DP 的距离．
例6： 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.
（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.
四、巩固练习：
1、4、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥
O ABCD -的体积为 。
2、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A ．
283π-
B ．
83π
-
C ．82π-
D ．23π
3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。
(1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离。
4、 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.
（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；
（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.
A
C
B A 1
B 1
C 1
D E
5、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB⊥AC,D、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE⊥平面BCC 1
（Ⅰ）证明：AB=AC
（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小
6、 如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA 。
OC ⊥OB ，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1 （Ⅰ）设P 为AC 的中点，Q 在AB 上且AB=3AQ ，证明：PQ ⊥OA ； （Ⅱ）求二面角O-AC-B 的平面角的余弦值。