反比例函数及其应用一、选择题1. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据，如下表.根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为()近视眼镜的度数y(度) 200 250 400 500 1000 镜片焦距x(米) 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10A.y=B.y=C.y=D.y=2. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，3)，(3，0)，∠ACB=90°，AC=2BC，函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为()A.B.9 C.D.3. （2019•江西）已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是A．反比例函数y2的解析式是y2=–8 xB．两个函数图象的另一交点坐标为（2，–4）C．当x<–2或0<x<2时，y1<y2D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大4. (2019·江苏无锡)如图，已知A为反比例函数y=kx(x<0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣45. 在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AC ＝4，AB ∥CD ，DH 垂直平分AC ，点H 为垂足．设AB ＝x ，AD ＝y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )6. 反比例函数y ＝1－6tx 的图象与直线y ＝－x ＋2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是( )A. t ＜16B. t ＞16C. t ≤16D. t ≥167. （2020·重庆B 卷）如图在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ,C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D (-2,3)，AD =5，若反比例函数()0,0k y k x x=>>的图像经过点B ，则k 的值为（ ）A ．163B ．8C ．10D ．3238. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线)0(11>=x xk y 上任意一点，连接AO ，过点O 作AD 的垂线与双曲线)0(22<=x xk y 交于点B ，连接AB .已知2=BOAO ，则=21k k（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2-二、填空题9. 已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是________．10. 已知反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象如图所示，则k 的值可能是________(写一个即可)．11. 反比例函数y=的图象上有一点P (2，n )，将点P 向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q.若点Q 也在该函数的图象上，则k= .12. 我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－3x 的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标________．13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C在反比例函数y ＝kx 的图象上，则k 的值为________．14. 如图，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y＝kx的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为________．15. (2019·浙江绍兴)如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线ykx(常数k>0，x>0)上，若顶点D的坐标为(5，3)，则直线BD的函数表达式是__________．16. （2019•福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y=3x（x＞0）的图象上，函数y=kx（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB=2，∠BAD=30°，则k=__________．三、解答题17. 如图，已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+4的图象交于A 和B (6，n )两点. (1)求k 和n 的值;(2)若点C (x ，y )也在反比例函数y=(x>0)的图象上，求当2≤x ≤6时，函数值y 的取值范围.18. 如图，▱ABCD中，顶点A 的坐标是(0，2)，AD ∥x 轴，BC 交y 轴于点E ，顶点C 的纵坐标是-4，▱ABCD 的面积是24.反比例函数y=的图象经过点B 和D ，求:(1)反比例函数的表达式; (2)AB 所在直线的函数表达式.19. （2019•广东）如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）． （1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP=1：2，求点P的坐标．20. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象分别与反比例函数y＝ax的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB.(1)求函数y＝kx＋b和y＝ax的表达式；(2)已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC.求此时点M的坐标．21. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象交于点A(m，8)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－kx＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？22. (2019·浙江金华)如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数ykx(k>0，x>0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；(3)平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．反比例函数及其应用-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]从表格中的近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据可以知道，它们满足xy=100，因此，y关于x的函数表达式为y=.故选A.2. 【答案】D[解析]过B作BD⊥x轴，垂足为D.∵A，C的坐标分别为(0，3)，(3，0)，∴OA=OC=3，∠ACO=45°，∴AC=3.∵AC=2BC ，∴BC=.∵∠ACB=90°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=，∴点B 的坐标为.∵函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B ， ∴k==，故选D .3. 【答案】C【解析】∵正比例函数y 1的图象与反比例函数y 2的图象相交于点A （2，4），∴正比例函数y 1=2x ，反比例函数y 2=8x，∴两个函数图象的另一个交点为（–2，–4）， ∴A ，B 选项错误，∵正比例函数y 1=2x 中，y 随x 的增大而增大，反比例函数y 2=8x中，在每个象限内y 随x 的增大而减小，∴D 选项错误， ∵当x <–2或0<x <2时，y 1<y 2，∴选项C 正确， 故选C ．4. 【答案】D【解析】∵AB ⊥y 轴，∴S △OAB =12|k |，∴12|k |=2，∵k <0，∴k =﹣4．故选D ．5. 【答案】D【解析】∵DH 垂直平分AC ，AC ＝4，∴AH ＝CH ＝12AC ＝12×4＝2，CD ＝AD ＝y .在Rt △ADH 中，DH ＝AD 2－AH 2＝y 2－22，在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝42－x 2，∵S四边形ABCD ＝S △ACD ＋S △ABC，∴12(y ＋x )·42－x 2＝12×4×y 2－22＋12x ·42－x 2，即y ·42－x 2＝4×y 2－22，两边平方得y 2(42－x 2)＝16(y 2－22)，16y 2－x 2y 2＝16y 2－64，∴(xy )2＝64，∵x ＞0，y ＞0，∴xy ＝8，∴y 与x的函数关系式为：y ＝8x (0＜x ＜4)，故选D.6. 【答案】B 【解析】将y ＝－x ＋2代入到反比例函数y ＝1－6tx 中，得：－x ＋2＝1－6t x ，整理，得：x 2－2x ＋1－6t ＝0，∵反比例函数y ＝1－6t x 的图象与直线y ＝－x ＋2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴⎩⎨⎧（－2）2－4（1－6t ）＞01－6t ＜0，解得t ＞16.7. 【答案】D【解析】本题考查了点的坐标，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数的表达式．如图，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，∴∠AFD =∠AEB =90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC =∠DAB =90°，AB =CD .∵D （-2,3）,∴OF =2，DF =3.在Rt △ADF 中，AD =5,∴AF =2253-=4，∴AO =4-2=2.设AD 与x 轴交于点G ，∵AD ∥OC ，∴△AOG ∽△AFD ，∴2==354OG AG ，∴OG =32，AG =52，∴DG =5-52=52.∵∠AOG =∠CDG =90°，∠AGO =∠CGD =90°，∴△AGO ∽△CGD ，∴52322CD =，∴CD =103，∴AB =103.∵∠DAB =∠AEB =90°，∴∠DAF +∠BAE =90°，∠BAE +∠ABE =90°，∴∠DAF =∠ABE ，∴△ADF ∽BAE ，∴103=345AE BE =，解得AE =2，BE =83，∴OE =2+2=4,∴点B （4，83），∴k =4×83=323. 因此本题选D ．8. 【答案】B【解析】作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOD ＝12k 1，S △BOE ＝－12k 2，然后通过证得△BOE ∽△OAD ，即可证得结论．作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，∵点A 是双曲线y 1＝（x ＞0）上的点，点B 是双曲线y 2＝（x ＜0）上的点，∴S △AOD ＝12|k 1|＝12k 1，S △BOE ＝12|k 2|＝－12k 2，∵∠AOB ＝90°，∴∠BOE ＋∠AOD ＝90°，∵∠AOD ＋∠OAD ＝90°，∴∠BOE＝∠OAD ，∠BEO ＝∠OAD ＝90°，∴△BOE ∽△OAD ，∴＝（）2，∴＝22，∴＝－4，故选：B ．二、填空题9. 【答案】k>0 【解析】∵反比例函数y ＝kx(k≠0)，图象所在的每一个象限内，y的值随着x 的值增大而减小，∴k 的取值范围是：k ＞0.10. 【答案】－2(答案不唯一) 【解析】根据反比例函数的图象在二、四象限，则k ＜0，如k ＝－2(答案不唯一)．11. 【答案】6 [解析]∵P (2，n )向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q (3，n -1)，且点P ，Q 均在反比例函数y=的图象上，∴∴-1=，解得k=6.12. 【答案】(1，－3)(答案不唯一，合理即可)【解析】对于y ＝－3x ，依题意，说明只要x 是3的约数即可，如(1，－3)，(－1，3)．13. 【答案】－6 【解析】如解图，连接AC 交y 轴于点D ，因为四边形ABCO 是菱形，且面积为12，则△OCD 的面积为3，利用反比例函数k 的几何意义可得k ＝－6.14. 【答案】(－1，－6) 【解析】如解图，因为点A 的坐标为(2，3)，点A 在反比例函数y ＝k x 的图像上，所以代入可得k ＝6，因为点B 的坐标为(0，2)则易得直线AB 的解析式为y ＝12x ＋2.其与x 轴的交点坐标为D(－4，0)．过点A 作AF ⊥AB 交x 轴于点F ，则∠DAE ＝∠FAE ＝45°.易得AD ＝35，因为AF AD ＝BO DO＝12，所以AF ＝352，DF ＝352·5＝152，所以OF ＝72.设AC 与x 轴交于点E(m ，0)，则DE AD ＝EF AF ，即m ＋435＝72－m 325，解得m ＝1，所以点E 的坐标为(1，0)，则直线AE 的解析式为y ＝3x －3，联立直线AE 与双曲线得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝6x，解得⎩⎨⎧x ＝－1y ＝－6，即点C 的坐标为(－1，－6)．15. 【答案】y 35=x 【解析】∵D (5，3)，∴A (3k ，3)，C (5，5k )， ∴B (3k ，5k )， 设直线BD 的解析式为y =mx +n ，把D (5，3)，B (3k ，5k )代入，得5335m n kk m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得350m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BD 的解析式为y 35=x ． 故答案为y 35=x ．16. 【答案】6+23【解析】连接OC ，AC ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，延长DA 与x 轴交于点F ，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，∵函数y =k x（k ＞3，x ＞0）的图象关于直线AC 对称， ∴O 、A 、C 三点在同直线上，且∠COE =45°，∴OE =AE ，不妨设OE =AE =a ，则A （a ，a ），∵点A 在反比例函数y =3x（x ＞0）的图象上， ∴a 2=3，∴a 3，∴AE =OE 3，∵∠BAD =30°，∴∠OAF =∠CAD =12∠BAD =15°， ∵∠OAE =∠AOE =45°，∴∠EAF =30°，∴AF =cos30AE ︒=2，EF =AE tan30°=1， ∵AB =AD =2，∴AF =AD =2，又∵AE ∥DG ，∴EF =EG =1，DG =2AE 3 ∴OG =OE +EG 3+1，∴D 3+1，3），∴k 33）3 故答案为：3三、解答题17. 【答案】解:(1)把B (6，n )代入一次函数y=-x +4中，可得n=-×6+4=1，所以B 点的坐标为(6，1).又B 在反比例函数y=(x>0)的图象上，所以k=xy=1×6=6，所以k 的值为6，n 的值为1.(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=.当x=2时，y==3;当x=6时，y==1，由函数图象可知，当2≤x ≤6时函数值y 的取值范围是1≤y ≤3.18. 【答案】解:(1)∵AD ∥x 轴，AD ∥BC ，∴BC ∥x 轴.∵顶点A 的坐标是(0，2)，顶点C 的纵坐标是-4，∴AE=6，又∵▱ABCD 的面积是24，∴AD=BC=4，则D (4，2)，∴k=4×2=8，∴反比例函数的表达式为y=.(2)由题意知B 的纵坐标为-4，∴其横坐标为-2，则B (-2，-4).设AB 所在直线的表达式为y=k'x +b ，将A (0，2)，B (-2，-4)的坐标代入，得:解得:所以AB 所在直线的函数表达式为y=3x +2.19. 【答案】（1）由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x；（3）P （23，73）． 【解析】（1）∵点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）∵反比例函数y =2k x 的图象过点A （–1，4），B （4，n ）， ∴k 2=–1×4=–4，k 2=4n ，∴n =–1，∴B （4，–1），∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A ，点B ，∴11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩， 解得k =–1，b =3，∴直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x； （3）设直线AB 与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∵S △AOC =12×3×1=32， ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4=152， ∵S △AOP ：S △BOP =1：2，∴S △AOP =152×13=52， ∴S △COP =52–32=1，∴12×3x P =1，∴x P =23， ∵点P 在线段AB 上，∴y =–23+3=73，∴P （23，73）．20. 【答案】(1)【思路分析】由点A 的坐标和OA ＝OB 可得点B 的坐标，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；将点A 的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式．解：∵点A(4，3)，∴OA ＝42＋32＝5，∴OB ＝OA ＝5，∴B(0，－5)，将点A(4, 3)，点B(0, －5)代入函数y ＝kx ＋b 得，⎩⎨⎧4k ＋b ＝3b ＝－5，解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝－5，(2分) ∴一次函数的解析式为y ＝2x －5，将点A(4, 3)代入y ＝a x得， 3＝a 4，∴a ＝12，∴反比例函数的解析式为y ＝12x ，∴所求函数表达式分别为y ＝2x －5和y ＝12x .(4分)(2)【思路分析】由题意可知，使MB ＝MC 的点在线段BC 的垂直平分线上，故求出线段BC 的垂直平分线和一次函数的交点即可．解：如解图，∵点B 的坐标为(0, －5)，点C 的坐标为(0, 5)，解图∴x 轴是线段BC 的垂直平分线，∵MB ＝MC ，∴点M 在x 轴上，又∵点M 在一次函数图象上，∴点M 为一次函数的图象与x 轴的交点，如解图所示，令2x －5＝0，解得x ＝52，(6分) ∴此时点M 的坐标为(52， 0)．(8分)21. 【答案】(1)∵直线y ＝2x ＋6经过点A (m ，8)，∴2×m ＋6＝8，解得m ＝1，∴A (1，8)，∵反比例函数经过点A (1，8)，∴k ＝8，∴反比例函数的解析式为y ＝8x ； (2)不等式2x ＋6－k x ＞0的解集为x ＞1；(3)由题意，点M ，N 的坐标为M (8n ，n )，N (n －62，n )，∵0＜n ＜6，∴n －62＜0，∴8n －n －62＞0，∴S △BMN ＝12|MN |×|y M |＝12×(8n －n －62)×n ＝－14(n －3)2＋254，∴n ＝3时，△BMN 的面积最大，最大值为254.22. 【答案】(1)点A 在该反比例函数的图象上，理由见解析；(2)Q 点横坐标为317+； 【解析】(1)点A 在该反比例函数的图象上，理由如下：如图，过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，∵P 是正六边形ABCDEF 的对称中心，CD =2，∴BP =2，G 是CD 的中点，∴PG 3=∴P (2，3，∵P 在反比例函数y k x=上， ∴k 3∴y 23= 由正六边形的性质，A (1，23，∴点A 在反比例函数图象上；(2)由题易得点D 的坐标为(3，0)，点E 的坐标为(4，设直线DE 的解析式为y =ax +b ，∴304a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， ∴y =﹣，联立方程y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x =负值已舍)， ∴Q； (3)A (1，2，B (0，C (1，0)，D (3，0)，E (4)，F (3，)， 设正六边形向左平移m 个单位，向上平移n 个单位，则平移后点的坐标分别为∴A (1﹣m ，n )，B (﹣mn )，C (1﹣m ，n )，D (3﹣m ，n )，E (4﹣mn )， F (3﹣m ，2n )，①将正六边形向左平移两个单位后，E (2，，F (1，；则点E 与F 都在反比例函数图象上；②将正六边形向左平移–1个单位后，C (2)，B (1，，则点B 与C 都在反比例函数图象上；③将正六边形向左平移2个单位，再向上平移–B (﹣2，，C (﹣1，﹣；则点B 与C 都在反比例函数图象上．。