函数的性质——单调性
欧阳光明（2021.03.07）
【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；
【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念；
难点：证明或判断函数的单调性
一、增函数与减函数
⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.
⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<(fx2),则说f(x)在这个区间上是增函数
⑵若当x1<x2时，都有f(x1)>(fx2),则说f(x) 在这个区间上是减函数
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当x∈[0,+∞)时是增函数，当x∈(-∞,0)时是减函数.
⒉单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降
说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x 1,x 2那样的特定位置上，虽然使得
f(x 1)<(fx 2)，但显然此图象表示的函数不是一
个单调函数；
⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x 1)<(fx 2) 或f(x 1)>(fx 2) ”改为“f(x 1)≤(fx 2) 或f(x 1)≥(fx 2)”即可；
⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.
⒊ 例题
例1图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
练习：1、函数11-=x y 的增减性的正确说
法是：
A ．单调减函数 B.在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是减函
C. 在)1,(-∞是减函数,在),1(+∞是减函数
D.除1=x 点外,在),(+∞-∞上是单调递减函数
二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，
当0>a 时函数)(x f 在对称轴
a b x 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加；
当0<a 时函数)(x f 在对称轴
a b x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；
例：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

二、函数单调性的证明步骤：
① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；
② 作差f(x 1)－f(x 2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 例1、证明函数x x y 1
+=在（1，+∞）上为减函数．
例2、证明函数
x x x f -1)(2+=在R 上是单调减函数。

练习1 证明函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数.
练习2 试判断函数x x x f 1
-)(2=在)(0,+∞上的单调性并加以证明。

例 已知函数f(x)＝
x a x
+2(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值
范围．
三、复合函数单调性
对于函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果u ＝g (x )在区间(a ，b )上具有单调性，当x ∈(a ，b )时，u ∈(m ，n )，且y ＝f (u )在区间(m ，n )上也具有单调性，则复合函数y ＝f (g (x ))在区间(a ，b )具有单调性的规律见下表：
例：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）
A.]3,(--∞
B.),1[+∞-
C.]1,(--∞
D.),1[+∞
求函数单调区间（复合函数）
1.函数1
y x =-的单调区间是（ ）
A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0） （1，∞，）
C.（-∞，1） 、（1，∞）
D. （-∞，1）（1，∞）
2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).
A ．32y x =-+
B ．3
y x = C ．245y x x =-+
D ．23810y x x =+-
3．函数y =的增区间是（ ）。

A ．[-3，-1]
B ．[-1,1]
C ．1
13a -<<-(,3)-∞- D ．(1,)-∞
4、已知函数1
()f x x x =+，判断()
f x 在区间〔0，1〕和（1，
+∞）上
的单调性。

五、函数单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

例 （1）若函数
52)(2++=ax x x f 在)(-2,+∞上单调递增，在)2,-(-∞上单调递减，求其实数a 的取值；
（2）若函数
52)(2++=ax x x f 在)(-2,+∞上单调递增，其实数a 的
取值范围； （3）若函数52x )(2++=ax x f 在)(-2,+∞上单调递增，其实数a 的
取值范围；
例 若函数
5)2(log )(22++=x ax x f 在)(-2,+∞上单调递增，其实数a 的取
值范围； 例 已知函数
⎩⎨⎧≥<+=1log 14)1-3()(x x x a x a x f a 是),(-+∞∞上的减函数，求实数
a 的取值范围； 练 习
判断函数的单调性
1.在区间)1,(-∞上为增函数的是: A.)
1(log 21x y --= B.21x y -= C.2)1(+-=x y D.
x x y -=1 2.设),(a -∞是函数
221)(--=x x x f 的反函数的一个单调增区间,则实数a 的
取值范围是 A.2≤a B.2≥a C.2-≤a D.2-≥a
3.下列命题:(1)若)(x f 是增函数,则)(1x f 是减函数;(2)若)(x f 是减函数,
则2)]([x f 是减函数;(3)若)(x f 是增函数,)(x g 是减函数,)]([x f g 有意义,则)]([x f g 为减函数,其中正确的个数有:
A.1
B.2
C.3
D.0
4．2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范
围是
5.已知函数f (x )=|2-x |＋|x |的值随x 值的增大而增大，求x 的取值范围.
6.)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数,则不等式)]2(8[)(->x f x f 的解集是
7.已知函数f (x )=13--x , 用函数单调性的定义证明：)(x f 在(－∞,+∞)
上单调递减.
8.讨论函数21)(x x f -=在区间[－1,1]上的单调性,并证明.
9.函数x x x f -+=2)(,求证
)(x f 在]47,(-∞上是增函数. 二次函数的单调性
1. 函数2
2)1()(2-+-+=a x a x x f 在]3,(-∞上是减函数，求a 的取值范围。

2. 函数14)3(2)(2-+-+-=a x a x
x f 在),1[+∞上是减函数求a 的取值范围。

3. 函数b
ax x x f +-=2)(在)1,(-∞上是减函数,在),1(+∞上是增函数，求a 。

4. 函数1)13()(2++-=x m mx
x f 在[-1,2]上是增函数,求m 的取值范围。

5. 已知2)1(2)(2+-+=x a x x f 在)4,(-∞上是减函数,且,0)(>x f 求a 的取值范围。

6．
2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值
范围
7.已知二次函数f (x )的二次项系数为正,且对于任意实数x ,都有f (2-x )=f (x ＋2)，讨论函数f (x )的单调性。

单调性与大小关系
1.如果ax 2+bx +c ＞0(a ≠0)的解集为{x |x ＜－2或x ＞4},设f (x )=ax 2+bx +c ,试比较f (－1),f (2),f (5)的大小.
2．比较大小:)0,.(,>>++m b a m b m a b a
3.设10<<x ,使一次函数)0)((>-=m a x m y 都是正数,则a 的范围是:
A.0≤a
B.0<a
C.1≤a
D.1>a
4.)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数,则不等式)]2(8[)(->x f x f 的解集是
5.)(x f 是定义在R 上增函数,且满足)()()(y f x f y x f -=
(1)求)1(f 的值; (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f。