高中数学必修一函数——单调性考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。
能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。
利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。
掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。
知识要点：1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用一、单调性的定义（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间（2）设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。
二、函数单调性的证明重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；定义法判断单调性：如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。
但是要注意，不能用区间I 上的两个特殊值来代替。
而要证明)(x f y =在某区间I 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I 上两个特殊的1x ，2x ，若21x x <，有)()(21x f x f ≥即可。
例1. 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数； （2） 函数3()2f x x x =--在R 上是单调递减函数； （3）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数．例题解析：（3）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．例2.确定函数1()12f x x=-的单调性．特殊要点：函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞xy21-三、复合函数及抽象函数的判定方法①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”——换元法 考查复合函数))((x g f y =的单调性.设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.例1. 求函数222)(-+=x xx f 的单调区间.解题过程：外层函数：t y 2=内层函数：22-+=x x t内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x 内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x 复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x 例2.求函数)2(log )(22-+=x x x f 的单调区间. 解题过程：外层函数：t y 2log =xyo2-1内层函数：22-+=x x t022>-+=x x t由图知：内层函数的单调增区间：],1[+∞∈x 内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x 由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x 复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x检验：1．函数()()22log 4f x x x =-的单调递减区间是（ ）A ．(0,4);B ．(0,2);C ．(2,4);D ． (2,)+∞2．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；B ．(3)+∞，；C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，；D ．(2)-∞，四、抽象函数单调性判断——定义法关键：特殊值的使用例题.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。
（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；（3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅->，求x 的范围。
解：(1)取m=0，n= 12则11(0)()(0)22f f f +=，因为1()02f > 所以(0)1f =(2)设0x <则0x -> 由条件可知()f x o ->又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ==-=->，所以()0f x > ∴R x ∈时，恒有0)(>x f （3）设12x x <则121211()()()()f x f x f x f x x x -=--+ =1211()()()f x f x x f x -- =121()[1()]f x f x x --因为12x x <所以210x x ->所以21()1f x x -<即211()0f x x --> 又因为1()0f x >，所以121()[1()]0f x f x x --> 所以12()()0f x f x ->，即该函数在R 上是减函数.120yx1-1(4) 因为()(2)1f x f x ⋅->，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f ⋅-=-> 所以220x x -<，所以20x x x ><的范围为或检验：1、设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，满足()()(),(3)1f xy f x f y f =+= 求：（1）f （1）；（2）当()(8)2f x f x +-≤时x 的取值范围.2、 定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当x ＞0时，1)(>x f ，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.五、函数的值域求解——把握单调性以及单调区间 例题：1．函数(1)()log [0,1]x x a f x a +=+在上的最大和最小值的和为a ，则a =_______2.作出函数2()|1|f x x x =-+的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.解:当11x x ≥≤-或时, 21y x x =+-215()24x =+-当11x -<<时, 22151(_)24y x x x =-++=-+由函数图象可以知道函数增区间为1(,1],[,1]2-∞-函数减区间为1[1,],[1,)2-+∞六、对号函数——()f x ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（利用单调性定义证明其单调性）例题：（1）如果函数()f x ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）求函数()f x ＝x ＋cx (c ＞0)在区间[1,2]上的最小值；（3）研究函数()f x ＝2x ＋2xc （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；课堂跟随练：1.函数||2x x y +-=的单调递减区间为______. 11[,0][,)22-+∞和2.单调增函数()f x 对任意R y x ∈,，满足()()(),(3)(392)0x x x f x y f x f y f k f +=+⋅+--<若 恒成立，则k 的取值范围是_______. )122,(--∞3.函数y ＝80212--x x 的单调递增区间为________. (,8)-∞-4.函数y ＝x x +-11的递减区间是 (―∞, ―1)、(―1, ＋∞) ；函数y ＝xx+-11的递减区间是 (－1, ＋1]5.已知函数()f x 在[0, π)上是递减函数，那么下列三个数(lg100)f , f (2π), f (23π)，6.(1) 证明：函数 y x =在 [0,)+∞上是增函数，(2)并判断函数 y x x =+在 [0,)+∞上的单调性(3)求函数y x x =+在区间[1，4]上的值域.7.若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对于0>x 满足)()()(y f x f yx f -=。