函数单调性及其应用
1.一元函数单调性及其应用
2.多元函数单调性及其应用
2.1 多元函数单调性的定义
一元函数)(x f y =在某个区间上的单调性，如该区间为),(+∞-∞时，可看成该函数在有向直线x 轴上的单调性；如该区间为[]b a ,或()b a ,时，可以看成该函数在x 轴上的一条有向线段（方向与x 轴正方向相同）上的单调性等等，类似地，可定义二元函数在xoy 面上的一条有向线段，有向直线或射线上的单调性。

定义 设AB 为xoy 面上的一条有向线段，二元函数),(y x f z =在AB 上有定义，对于AB 任意两点21,P P ,设21P P 与AB 同向。

若)()(21P f P f <,则称二元函数),(y x f z =在AB 上单调增加。

若)()(21P f P f >，则称二元函数),(y x f z =在AB 上单调减少。

2.2多元函数单调性的判别法
如果),(y x f u =在点),(y x P 可微,l 的方向余弦是βαcos ,cos ，则),(y x f u =在),(y x P 沿射线l 的方向导数存在，且
βαcos cos y f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂。

其中l 是),(y x P 出发的一条射线，他的方向向量记作l
由二元函数的中值公式：),(),(0000y x f k y h x f -++
=k h y h x f h k y h x f y x ),(),(0000⨯+⨯++⨯+⨯+θθθθ 定理 1 设二元函数),(y x f z =在区域I 内连续，有向线段I AB l ⊂=，且),(y x f z =在),(B A 内每个点处都可微，则在),(B A 内至少存在一点C ，使得 AB l f
A f
B f
C ∙∂∂=-)()(
其中),(B A 表示有向线段AB 上不包括两个端点的所有点构成的点集。

AB 表示AB 的长度，l 是点A 出发的并且经过点B 的一条射线。

定理2 设二元函数),(y x f z =在区域I 内连续，有向线段I AB l ⊂=，且
),(y x f z =在),(B A 内每个点处都可微，l 表示点A 出发的并且经过点B 的一条射线，（1）若在),(B A 内
0>∂∂l f ，则),(y x f z =在AB 上单调增加。

（2）若在),(B A 内0<∂∂l
f ，则),(y x f z =在AB 上单调减少。

2.3多元函数单调性与极值问题。